Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

Ver Teoria

Enunciado

De quantas formas podemos distribuir 15 diferentes livros em 4 caixas iguais, sendo 3 caixas com 4 livros e uma com 3?

Passo 1

Oi Pessoal, tudo bem?

Então, quando queremos distribuir algumas quantidades e que a ordem não importa estamos falando de combinação! Certo?

E mais! Quando estamos falando de uma forma de combinar que podemos ter várias opções de combinações, a gente tá falando de combinação de combinações!

Mas calma, vou explicar melhor! Como no nosso exercício, queremos distribuir 15 livros em 4 caixas iguais, mas podemos ter 3 caixas com 4 livros e outra caixa com 3. Então esses 15 livros podem estar dentro de qualquer uma dessas 4 caixas, então a possibilidade de combinações é a multiplicação de cada uma das combinações!

Passo 2

Para a primeira caixa vamos ter 15 livros podendo ser arranjados de 4 a 4.

Para a segunda caixa já não temos mais 15, temos 11 livros (4 foram guardados na primeira caixa, então 15 - 4 = 11 ), combinados de 4 a 4.

Na terceira caixa não temos mais 11 livros, temos 7 (pois 15 - 4 - 4 = 7 ), também podendo ser combinados de 4 a 4.

Por fim, na quarta e última caixa temos 3 livros sobrando, e que podem ser arranjados de 3 a 3.

Assim, o número de possibilidades vai ser a multiplicação de todas essas combinações:

C 15 4 ⋅ C 11 4 ⋅ C 7 4 ⋅ C 3 3

Beleza?

Passo 3

Como relembrar é viver, uma combinação C n p = n ! p ! n - p ! , então vamos aplicar essa fórmula para cada combinação na multiplicação do passo anterior:

15 ! 4 ! 15 - 4 ! ⋅ 11 ! 4 ! 11 - 4 ! ⋅ 7 ! 4 ! 7 - 4 ! ⋅ 3 ! 3 ! 3 - 3 !

Lembrando que 0 ! = 1 ! = 1 , podemos abrir esses fatoriais até poder cortar com algum do denominador:

15 ! 4 ! 15 - 4 ! ⋅ 11 ! 4 ! 11 - 4 ! ⋅ 7 ! 4 ! 7 - 4 ! ⋅ 3 ! 3 ! 3 - 3 ! =

15 ! 4 ! 11 ! ⋅ 11 ! 4 ! 7 ! ⋅ 7 ! 4 ! 3 ! ⋅ 3 ! 3 ! 0 ! = 15 ! 4 ! 4 ! 4 ! 3 !

Passo 4

Acabou por aqui? Ainda não!

Precisamos também multiplicar por mais uma coisinha: pelo número de permutações das 3 caixas com 4 livros cada! Pois os mesmos livros podem estar em caixas em outra ordem, e aí sim vai ser a mesma combinação!

Então precisamos ainda multiplicar esse último número por 1 3 ! (para garantir que nenhuma combinação vai ser igual, apenas fora de ordem):

15 ! 4 ! 4 ! 4 ! 3 ! . 1 3 ! = 15 ! 4 ! 4 ! 4 ! 3 ! 3 ! = 2.627.625

Agora sim acabamos! O número de combinações é 2.627.625 , beleza?

Resposta

2.627.625

Exercícios de Livros Relacionados

Use os axiomas de probabilidade para mostrar o seguinte:Para qualquer evento E , P ( E ' ) = 1 - P ( E ) P ( ∅ )=0 Se A está contido em B, então P( A )≤P( B ) .
Se P ( A ) = 0.3 , P ( B ) = 0.2 , P ( A nn B ) = 0.1 , d e t e r m i n e a s s e g u i n t e s p r o b a b i l i d a d e s : P ( A ' ) P ( A uuu B ) P ( A ' nn B ) P ( A nn B ' ) P ( [ A uuu B ' ] )
O artigo “Determination of Most Representative Subdivision” (J. of Energy Engr., 1993, p. 43-55) forneceu dados sobre diversas características de subdivisões que podiam ser usadas na decisão de fornec
Três máquinas A, B e C produzem 50%, e 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. as porcentagens de produção é defeituosa destas máquinas é 3%, 4% e 5%. se uma peça é selecionada a
A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é ⅗. Um chaveiro possui 25 chaves das quais três abrem essa porta. Qual a probabilidade de que um indivíduo entre na casa, se ele pud