Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Enunciado

São oferecidos 6 tipos de doces e 10 de salgados. De quantas formas podemos escolher 4 itens diferentes tomando no máximo 2 salgados?

Passo 1

Antes de começar qualquer questão assim você precisa se perguntar: a ordem importa? Por exemplo, se eu pegar um quindim primeiro e um brigadeiro depois, faz diferença? Ou a forma de pegar doces é o que o problema quer?

Se a resposta for SIM então estamos falando de: COMBINAÇÃO!

Temos a nossa disposição 6 tipos de doces (uh delícia!) e 10 de salgados (quem é #teamCoxinha aí?) e queremos saber de quantas formas podemos escolher 4 itens (entre doces e salgados) e tomando NO MÁXIMO 2 salgados.

Ou seja: podemos OU não pegar nenhum salgado, Ou pegar 1 salgado, Ou pegar 2 salgados.

Então é mesmo uma combinação! Ou melhor, 3 combinações! 3 jeitos diferentes de combinar 10 salgados 2 a 2, 1 a 1 e 0 a 0 (esse último é só pegando doce mesmo). E isso tem que estar combinado com as possibilidades de pegar os doces, pois lembra que temos que pegar 4 itens!

Então se a gente pegar 2 salgados, vamos obrigatoriamente pegar 2 doces. E aí o número de possibilidades é a multiplicação das combinações de doces (6 doces, tomando 2 a 2) com a de salgados (10 salgados, tomando 2 a 2).

Se a gente pegar 1 salgado, vamos ter de pegar 3 doces. E aí o número de combinações é a multiplicação da combinação de 10 salgados, tomados 1 a 1, e 6 doces, tomados 3 a 3.

Por fim se escolhermos não pegar salgados, apenas doces, temos a combinação de 6 salgados 4 a 4.

O número total de combinações é a soma de todo mundo. Beleza? Vamos começar?

E a fórmula da combinação de n itens p a p é:

C n p = n ! p ! n - p !

Passo 2

Primeiro escolhendo 2 salgados:

C 10 2 = 10 ! 2 ! 10 - 2 ! = 10 ! 2 ! 8 ! = 10.9 . 8 ! 2.8 ! = 90 2 = 45

E escolhendo 2 salgados, precisamos escolher obrigatoriamente 2 doces (de 6 opções):

C 6 2 = 6 ! 2 ! 6 - 2 ! = 6 ! 2 ! 4 ! = 6.5 . 4 ! 2.4 ! = 3 0 2 = 1 5

E agora o número de possibilidades escolhendo 2 salgados e 2 doces é a multiplicação das combinações:

45 ⋅ 15 = 675

Beleza? Guarda esse número pra somar todos os resultados no final!

Passo 3

Agora escolhendo 1 salgado (de 10 opções):

C 10 1 = 10 ! 1 ! 10 - 1 ! = 10 ! 1 ! 9 ! = 10.9 ! 1.9 ! = 10

E escolhendo 1 salgado, precisamos escolher obrigatoriamente 3 doces (de 6 opções):

C 6 3 = 6 ! 3 ! 6 - 3 ! = 6 ! 3 ! 3 ! = 6.5 . 4 . 3 ! 3.2 . 3 ! = 5.4 = 20

E agora o número de possibilidades escolhendo 1 salgado e 3 doces é a multiplicação das combinações:

10 ⋅ 20 = 200

Tranquilo? Guarda também esse número!

Passo 4

Agora escolhendo 0 salgados (ou seja, escolhendo 4 doces de 6 opções):

C 6 4 = 6 ! 4 ! 6 - 4 ! = 6 ! 4 ! 2 ! = 6.5 . 4 ! 2.4 ! = 30 2 = 15

Passo 5

O número de possibilidades diferentes é a soma de todas as combinações que encontramos:

675 + 200 + 15 = 890

Beleza? Terminamos por aqui!

Espero ter ajudado! Até a próxima =)

Resposta

890

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