Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Enunciado

Consideramos no espaço P 2 = a t 2 + b t + c a , b , c ∈ R } os vetores p 1 = t 2 - 2 t + 1 ,   p 2 = t + 2 e p 3 = 2 t 2 - t

  1. Escrever o polinômio p = 5 t 2 - 5 t + 7 como combinação linear de p 1 ,   p 2 ,   p 3 .
  2. Escrever o vetor p = 5 t 2 - 5 t + 7 como combinação linear de p 1 ,   p 2
  3. Determinar uma condição para a , b , c de modo que o polinômio a t 2 + b t + c seja combinação linear de p 2 , p 3
  4. É possível escrever p 1 como combinação linear de p 2 e p 3 ?

Passo 1

Letra a)

Montando a C L :

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 t + 1 + b t + 2 + c 2 t 2 - t ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 a t + a + b t + 2 b + c 2 t 2 - c t ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a + 2 c t 2 + - 2 a + b - c t + a + 2 b ⇒

5 = a + 2 c ⇒ a = 5 - 2 c ⇒ a = 5 - 2 ⇒ a = 3 - 5 = - 2 a + b - c ⇒ - 5 = - 10 + 4 c + 1 + c - c ⇒ 4 = 4 c ⇒ c = 1 7 = a + 2 b ⇒ 7 = 5 - 2 c + 2 b ⇒ 2 = - 2 c + 2 b ⇒ b = 1 + c ⇒ b = 2

Então podemos escrever a C l e os coeficientes são a = 3 ,   b = 2 ,   c = 1

Passo 2

Letra b)

Agora é só repetir a equação da letra a), com apenas p 1 , p 2 :

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 t + 1 + b t + 2 ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 - 2 a t + a + b t + 2 b ⇒

5 t 2 - 5 t + 7 = a t 2 + - 2 a + b t + a + 2 b ⇒

5 = a - 5 = - 2 a + b ⇒ - 5 = - 10 + b ⇒ b = 5 7 = a + 2 b ⇒ 7 = 5 + 10 ⇒ 7 = 15   A b s u r d o !

Como chegamos num absurdo, o sistema é impossível e por isso o polinômio não pode ser escrito como uma C L de p 1 e p 2

Passo 3

Letra c)

a t 2 + b t + c = α t + 2 + β 2 t 2 - t ⇒

a t 2 + b t + c = α t + 2 α + β 2 t 2 - β t ⇒

a t 2 + b t + c = 2 β t 2 + α - β t + 2 α ⇒

a = 2 β b = α - β c = 2 α

Ou seja, para o polinômio a t 2 + b t + c ser uma C L de p 1 ,   p 2 tem q satisfazer a condição acima para quaisquer que sejam os valores de α ,   β . O exercício, pede uma condição, ou seja, não genérica. Então, basta estipularmos valores para α ,   β , no caso vou escolher α = β = 1 :

a = 2 b = 0 c = 2  

2 t 2 + 2

Passo 4

Letra d)

Montando a C L :

t 2 - 2 t + 1 = a t + 2 + b 2 t 2 - t ⇒

t 2 - 2 t + 1 = a t + 2 a + b 2 t 2 - b t ⇒

t 2 - 2 t + 1 = 2 b t 2 + a - b t + 2 a ⇒

1 = 2 b ⇒ b = 1 2 - 2 = a - b ⇒ - 2 = 1 2 - 1 2 = 0   A b s u r d o ! 1 = 2 a ⇒ a = 1 2

Como podemos ver, p 1 não pode ser escrito como C L de p 2 ,   p 3

Resposta

Letra a)

podemos escrever a C l e os coeficientes são a = 3 ,   b = 2 ,   c = 1

Letra b)

não pode ser escrito como uma C L de p 1 e p 2

Letra c)

a = 2 ,   b = 0 ,   c = 2

Letra d)

p 1 não pode ser escrito como C L de p 2 ,   p 3

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