Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Enunciado

Considere as matrizes:

A = 2 1 2 2 2 - 2 3 1 1 e x = x 1 x 2 x 3

(a) Mostre que a equação A x = x pode ser escrita como A - I x = 0 e use este resultado para resolver A x = x em x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Nós precisamos mostrar que dá pra escrever a equação A x = x como A - I x = 0 e, em seguida, resolver a equação achando os valores de x . Mas como nós podemos fazer isso?

Bom, nossa primeira ideia é manipular a equação para ver onde vai dar né? Vamos dá uma olhadinha nela:

A x = x

A gente pode tentar subtrair x dos dois lados da equação. Fica assim:

A x - x = 0

Agora nós precisamos inserir a matriz identidade I na equação. Lembra que a matriz identidade é o elemento neutro da equação matricial? É como se eu estivesse multiplicando 1 numa equação numérica. E aí, nós teríamos que I ∙ x = x .

Substituindo isso na nossa equação ali de cima, temos:

A x - I ∙ x = 0

Percebe que já tá mais próximo da equação que nós queremos? Só falta colocar o x em evidência, que também é uma operação válida pelas regras da aritmética matricial. Aí nós teremos:

A - I x = 0

Como queríamos demonstrar. Só falta agora resolver a equação.

Passo 2

Vamos pegar nossa equação A - I x = 0 e escrever usando as matrizes que o enunciado nos deu:

2 1 2 2 2 - 2 3 1 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ x 1 x 2 x 3 = 0

Fazendo essa subtração de dentro dos parênteses, temos:

1 1 2 2 1 - 2 3 1 0 ∙ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Aqui daria pra gente usar a multiplicação das matrizes e resolver o sistema por substituição ou escrever a matriz aumentada e escalonar o sistema. Vamos escolher esse segundo método que vai ser rapidinho.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema, temos:

1 1 2 0 2 1 - 2 0 3 1 0 0

Vamos multiplicar - 2 pela primeira linha e somar com a segunda:

1 1 2 0 2 1 - 2 0 3 1 0 0 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 1 2 0 0 - 1 - 6 0 3 1 0 0

E multiplicar a primeira linha por - 3 e somar com a terceira:

1 1 2 0 0 - 1 - 6 0 3 1 0 0 → L 3 → L 3 - 3 L 1 1 1 2 0 0 - 1 - 6 0 0 - 2 - 6 0

Multiplicando a segunda linha por - 1 :

1 1 2 0 0 - 1 - 6 0 0 - 2 - 6 0 → L 2 → - 1 L 2 1 1 2 0 0 1 6 0 0 - 2 - 6 0

Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por 2 e somar com a terceira:

1 1 2 0 0 1 6 0 0 - 2 - 6 0 → L 3 → L 3 + 2 L 2 1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 6 0

Multiplicando a terceira linha por 1 / 6 :

1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 6 0 → L 3 → 1 6 L 3 1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 1 0

Agora vamos somar - 2 vezes a linha 3 na linha 1 e somar - 6 vezes a linha 3 na linha 2 :

1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 1 0 L 1 → L 1 - 2 L 3 L 2 → L 2 - 6 L 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Por fim, vamos subtrair a linha 2 da linha 1 :

1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 1 0 → L 1 → L 1 - L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Matriz escalonada, já podemos escrever o sistema. Temos:

x 1 = 0

x 2 = 0

x 3 = 0

Ou, na forma matricial:

x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Isso significa que o sistema possui somente a solução trivial.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

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