Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Enunciado

Determine se são L I ' s ou L D ' s em P 3 :

(a) { 1 , x 2   , x 2 + 4 }  

(b) x + 2 , x + 3 , x 2 - 3

(c) { x 2 - 2 x , 1 + x , x 2 + 2 }

Passo 1

Letra ( a )

Vamos botar os coeficientes das potências de x dos polinômios nas linhas de uma matriz e escaloná-la:

Sendo o primeiro conjunto { 1 , x 2   , x 2 + 4 } , nossa matriz vai ficar igual a:

1 0 0 0 0 1 4 0 1

Repare que botei tudo que multiplica o x 2 na terceira coluna, tudo que multiplica o x na segunda e os termos independentes na primeira!

Agora vamos escalonar:

1 0 0 0 0 1 4 0 1 → L 3 ← L 3 - 4 L 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 → L 3 ← L 3 - L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0

Uma linha zerou, quer dizer que o conjunto era L D !

Passo 2

Letra ( b )

Vamos fazer o mesmo para o próximo conjunto, x + 2 , x + 3 , x 2 - 3 , colocando os coeficientes em uma matriz:

2 1 0 3 1 0 - 3 0 1

Agora, escalonando:

2 1 0 3 1 0 - 3 0 1 → L 1 ← L 1 2 1 1 2 0 3 1 0 - 3 0 1 → L 2 ← L 2 - 3 L 1 L 3 ← L 3 + 3 L 1 1 1 2 0 0 - 1 2 0 0 3 2 1 → L 3 ← L 3 + 3 L 2 1 1 2 0 0 - 1 2 0 0 0 1

Opa, nenhuma linha zerou, isso significa que os polinômios formam um conjunto L I .

Passo 3

Letra ( c )

Agora, por último, para o conjunto { x 2 - 2 x , 1 + x , x 2 + 2 } :

0 - 2 1 1 1 0 2 0 1 → L 3 ↔ L 1 2 0 1 1 1 0 0 - 2 1 → L 2 ← L 1 - 2 L 2 2 0 1 0 - 2 1 0 - 2 1 → L 3 ← L 3 - L 2 2 0 1 0 - 2 1 0 0 0

Como a ultima linha zerou, temos um polinômio C L dos outros e portanto, o conjunto é L D !

Resposta

  1. L D
  2. L I
  3. L D

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