UnB; Introdução à Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 38b
38) Seja uma matriz simétrica.
(b) Mostre que é simétrica.
Passo 1
Opa pessoal, tudo bom?
Antes de você surtar lendo essa questão, vamos juntos fazer ela com calma, belezinha??
O enunciado começa pedindo pra gente considerar uma matriz simétrica . Mas que matriz é essa?
Uma matriz é considerada simétrica quando esta é igual à sua transposta, ou seja, !
Lembrando aqui que uma matriz transposta se dá quando mudamos a posição das linhas e colunas de uma matriz!
Além disso, o enunciado nos pede para mostrar que a operaçãozinha é simétrica.
Tá, mas por onde começo a pensar sobre esse exercício?
Antes de tudo vamos analisar o que temos na expressão que o exercício nos pediu: temos processos de multiplicação e soma com a matriz simétrica e temos também a soma de uma matriz identidade chamada de ali!
Mas o que é a matriz identidade mesmo? A matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a e o restante dos elementos é !
Vamos lá analisar o que está havendo para descobrirmos se o resultado da operação é simétrica ou não!
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira parte da operação: .
Pra isso, vamos lembrar que nada mais é do que .
Mas por que isso é importante aqui?
O produto de duas matrizes simétricas será uma matriz simétrica, se e somente se, as matrizes comutam!
Tá, mas o que isso quer dizer? Como eu sei que comuta?
Quando dizemos que temos duas matrizes que comutam, significa que não importa a ordem em que elas são multiplicadas, teremos sempre a mesma resposta!
Ou seja, tomando duas matrizes e , por exemplo. Se , isso significa que elas comutam!
Para o caso desse exercício aqui, como temos a multiplicação de duas matrizes iguais (), podemos dizer que justamente por elas serem iguais, que elas comutam!
Além disso, quando multiplicamos uma constante (que nesse caso é o ) por uma matriz simétrica, teremos como um resultado uma nova matriz também simétrica.
Então, desse modo podemos afirmar que é simétrica!!
Passo 3
Seguindo para a segunda parte da operação: .
Como mencionado no passo anterior, temos uma constante multiplicando uma matriz simétrica, e, portanto, será uma matriz simétrica!
Então, como e são simétricos, sabemos que quando somamos ou subtraímos duas matrizes simétricas, obtemos uma matriz simétrica!
Então, é simétrica!
Passo 4
Por fim, sabe-se que toda matriz identidade é simétrica, visto que: , seguindo a regrinha que mencionamos lá no passo 1!
E como no passo 3 afirmamos que quando somamos ou subtraímos duas matrizes simétricas, obtemos uma matriz simétrica, a expressão é considerada simétrica!
Uhul!! Terminamos pessoal! Bem tranquilinho essa questão, fala aí!
Bora lá pra próxima então?
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais