Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Enunciado

38) Seja A uma matriz simétrica.

(b) Mostre que 2 A 2 - 3 A + I é simétrica.

Passo 1

Opa pessoal, tudo bom?

Antes de você surtar lendo essa questão, vamos juntos fazer ela com calma, belezinha??

O enunciado começa pedindo pra gente considerar uma matriz simétrica A . Mas que matriz é essa?

Uma matriz é considerada simétrica quando esta é igual à sua transposta, ou seja, A = A t !

Lembrando aqui que uma matriz transposta se dá quando mudamos a posição das linhas e colunas de uma matriz!

Além disso, o enunciado nos pede para mostrar que a operaçãozinha 2 A 2 - 3 A + I é simétrica.

Tá, mas por onde começo a pensar sobre esse exercício?

Antes de tudo vamos analisar o que temos na expressão que o exercício nos pediu: temos processos de multiplicação e soma com a matriz simétrica A e temos também a soma de uma matriz identidade chamada de I   ali!

Mas o que é a matriz identidade mesmo? A matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e o restante dos elementos é 0 !

Vamos lá analisar o que está havendo para descobrirmos se o resultado da operação é simétrica ou não!

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira parte da operação: 2 A 2 .

Pra isso, vamos lembrar que A 2 nada mais é do que A * A .

Mas por que isso é importante aqui?

O produto de duas matrizes simétricas será uma matriz simétrica, se e somente se, as matrizes comutam!

Tá, mas o que isso quer dizer? Como eu sei que A * A comuta?

Quando dizemos que temos duas matrizes que comutam, significa que não importa a ordem em que elas são multiplicadas, teremos sempre a mesma resposta!

Ou seja, tomando duas matrizes A e B , por exemplo. Se A * B = B * A , isso significa que elas comutam!

Para o caso desse exercício aqui, como temos a multiplicação de duas matrizes iguais ( A 2 = A * A ), podemos dizer que justamente por elas serem iguais, que elas comutam!

Além disso, quando multiplicamos uma constante (que nesse caso é o 2 ) por uma matriz simétrica, teremos como um resultado uma nova matriz também simétrica.

Então, desse modo podemos afirmar que 2 A 2 é simétrica!!

Passo 3

Seguindo para a segunda parte da operação: 3 A .

Como mencionado no passo anterior, temos uma constante multiplicando uma matriz simétrica, e, portanto, 3 A   será uma matriz simétrica!

Então, como 2 A 2 e 3 A são simétricos, sabemos que quando somamos ou subtraímos duas matrizes simétricas, obtemos uma matriz simétrica!

Então, 2 A 2 - 3 A é simétrica!

Passo 4

Por fim, sabe-se que toda matriz identidade é simétrica, visto que: I = I t , seguindo a regrinha que mencionamos lá no passo 1!

E como no passo 3 afirmamos que quando somamos ou subtraímos duas matrizes simétricas, obtemos uma matriz simétrica, a expressão 2 A 2 - 3 A + I é considerada simétrica!

Uhul!! Terminamos pessoal! Bem tranquilinho essa questão, fala aí!

Bora lá pra próxima então?

Resposta

D e m o n s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .

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