Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Enunciado

Explique por que os conjuntos de vetores dados são linearmente dependentes.

  1. p 1 = 3 - 2 x + x 2 e p 2 = 6 - 4 x + 2 x 2 em P 2
  2. A = - 3 4 2 0 e B = 3 - 4 - 2 0 em M 22

Passo 1

Bom, para os conjuntos serem linearmente dependentes é preciso que pelo menos um elemento deles seja combinação linear dos outros!

Nesse caso, nós só temos dois elementos nos conjuntos, assim, para um elemento ser C L   do outro, eles devem ser múltiplos!

Passo 2

Passo 3

Vamos analisar agora cada caso, pegando primeiro o da letra (a):

  1. p 1 = 3 - 2 x + x 2 e p 2 = 6 - 4 x + 2 x 2 em P 2

Conseguimos ver que p 2 = 2 p 1 , ou seja, eles são múltiplos e por isso formam um conjunto L D !

Agora a letra (b):

(b) A = - 3 4 2 0 e B = 3 - 4 - 2 0 em M 22

Aqui, temos que B = - A , o que também as torna múltiplas fazendo com que o conjunto seja L D .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam L 0( t ) ,L 1( t ) , . . .,L n ( t ) Os polinômios de Lagrange correspondentes a ( t o ,t 1 , . . . ,t n ) . Provar que L 0( t )+L 1( t )+ . . .+L n ( t )= 1 e que t=t 0 L 0 ( t )+t 1 L 1 ( t )+
Exprimir o polinômio f ( t ) como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício1 nos seguintes casos:a) f ( t )=t 2 b) f ( t )=t 2+t+1 c) f ( t )=1
Sejam a ,b ,c ,d números reais distintos dois a dois. Provar que existe um polinômio de grau menor ou igual a 2 tal que: f - 1 = a ,f 1 =b ,f 3 = c ,f O =d se, e somente se, 3 a+6 b-c-8 d=0 .
f ( t ) = a o + a 1 t + + . . . + a m t m E uma matriz A , indica-se por f ( A ) a matriz a 0 I b + a 1 A + … + a m A m ·. Calcular f ( A ) nos seguintes casos:
Determinar os polinômios de Lagrange correspondentes aos valores t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 =( 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ) e exprimir o polinômio f ( t )=t 4+t 3-t 2-t+1 como combinação linear deles. Repetir o e