Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

Ver Teoria

Enunciado

Quais dos seguintes conjuntos de polinômios pertencentes ao P 2 são L D ?

  1. 2 + x - x 2 ,   - 4 - x + 4 x 2 ,   x + 2 x 2
  2. 1 - x + 2 x 2 ,   x - x 2 ,   x 2
  3. 1 + 3 x + x 2 ,   2 - x - x 2 ,   1 + 2 x - 3 x 2 ,   - 2 + x + 3 x 2
  4. { x 2 - x + 1 , x 2 + 2 x }

Passo 1

Letra a)

Podemos perceber que o terceiro elemento não tem o termo sem o x . Sendo assim, vamos tentar fazer alguma C L dos outros dois polinômios que resulte em um novo polinômio com o elemento sem o x .

Como os dois polinômios são:

2 + x - x 2

- 4 - x + 4 x 2

Para zerar vou fazer o seguinte (Pode zerar multiplicando por qualquer coeficiente):

2 2 + x - x 2 + 1 - 4 - x + 4 x 2 = 4 + 2 x - 2 x 2 - 4 - x + 4 x 2 = x + 2 x 2

Ou seja, exatamente o terceiro polinômio! Então, podemos dizer que o conjunto é L D .

Passo 2

Letra b)

Bom, esse está difícil de ver só no olho, então vamos ter que partir para a C L .

a 1 - x + 2 x 2 + b x - x 2 + c x 2 = 0 ⇒

a - a x + 2 a x 2 + b x - b x 2 + c x 2 = 0 ⇒

2 a + c - b x 2 + - a + b x + a = 0 ⇒

2 a + c - b = 0 ⇒ c = 0 - a + b = 0 ⇒ b = 0 a = 0

E como todos os coeficientes são nulos, então o conjunto é L I .

Passo 3

Letra c)

Bom, esse está mais difícil de ver no olho, então vamos fazer a combinação linear:

a 1 + 3 x + x 2 + b 2 - x - x 2 + c 1 + 2 x - 3 x 2 + d - 2 + x + 3 x 2 = 0 ⇒

a + 3 a x + a x 2 + 2 b - b x - b x 2 + c + 2 c x - 3 c x 2 - 2 d + d x + 3 d x 2 = 0 ⇒

a + 2 b + c - 2 d + 3 a - b + 2 c + d x + a - b - 3 c + 3 d x 2 = 0 ⇒

a + 2 b + c - 2 d = 0 3 a - b + 2 c + d = 0 a - b - 3 c + 3 d = 0

Como esse sistema está meio grande, é melhor botar numa matriz e escalonar:

1 2 1 - 2 3 - 1 2 1 1 - 1 - 3 3 0 0 0 →           E s c a l o n a n d o           1 2 1 - 2 0 - 7 - 1 7 0 0 - 25 7 2 0 0 0

Como podemos ver, o sistema continua:

a + 2 b + c - 2 d = 0 - 7 b - c + 7 d = 0 - 25 7 c + 2 d = 0

E, portanto, não podemos isolar nenhuma variável. O que significa que alguma terá que ficar em função da outro. Sendo assim, vamos ter infinitas soluções para os coeficientes. Logo, o conjunto é L D .

Letra d)

Essa é bem tranquila. Só temos 2 polinômios e como um não é múltiplo do outro, o conjunto é L I .

Resposta

  1. L D
  2. L I
  3. L D
  4. L I

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam L 0( t ) ,L 1( t ) , . . .,L n ( t ) Os polinômios de Lagrange correspondentes a ( t o ,t 1 , . . . ,t n ) . Provar que L 0( t )+L 1( t )+ . . .+L n ( t )= 1 e que t=t 0 L 0 ( t )+t 1 L 1 ( t )+
Exprimir o polinômio f ( t ) como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício1 nos seguintes casos:a) f ( t )=t 2 b) f ( t )=t 2+t+1 c) f ( t )=1
Sejam a ,b ,c ,d números reais distintos dois a dois. Provar que existe um polinômio de grau menor ou igual a 2 tal que: f - 1 = a ,f 1 =b ,f 3 = c ,f O =d se, e somente se, 3 a+6 b-c-8 d=0 .
f ( t ) = a o + a 1 t + + . . . + a m t m E uma matriz A , indica-se por f ( A ) a matriz a 0 I b + a 1 A + … + a m A m ·. Calcular f ( A ) nos seguintes casos:
Determinar os polinômios de Lagrange correspondentes aos valores t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 =( 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ) e exprimir o polinômio f ( t )=t 4+t 3-t 2-t+1 como combinação linear deles. Repetir o e