Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Enunciado

Sejam a , b   ∈   R e considere a matriz:

Se o polinômio característico de A for,

  p ( t )   =   - t 3   +   4 t   +   1

então:

(a)   a   =   1   e   b   =   - 1 ;

(b) a   =   - 1   e   b   =   0 ;

(c) a   =   1   e   b   =   0 ;

(d)   a   =   2   e   b   =   1 ;

(e) a   =   0   e   b   =   1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir as entradas a ,   b da matriz A . Para isso, nós temos o polinômio característico da matriz. Então bora resolver.

Como

seu polinômio característico é, Por definição,

p ( t ) = d e t ( A - I t )

= - t 3 + b t 2 + t 2 - b t + 3 t + 2 a - b - 2

Contudo, o enunciado diz que o polinômio é

  p ( t )   =   - t 3   +   4 t   +   1

Ora, temos aqui uma igualdade entre polinômios. Isso quer dizer que os coeficientes que acompanham as potências de t tem que ser os mesmos em ambos os polinômios.

Dessa forma, temos que ter

b + 1 = 0

- b + 3 = 4

2 a - b - 2 = 1

Resolvendo o sistema acima, descobrimos que

b = - 1   e   a = 1

valores presentes na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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