Exercícios Resolvidos de CL e DL de Polinômios e Matrizes

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Enunciado

38) Seja A uma matriz simétrica.

(a) Mostre que A 2 é simétrica.

Passo 1

Bomm dia, boa tarde, boa noiteee pessoas lindas!! Se vocês estão perdidinhos nessa questão, caíram no lugar certo. É aqui que vamos resolver ela da maneira mais tranquila possível, igual esse patinho no balanço dele. 

 

Uhuul, bora lá então!

O enunciado começa pedindo pra gente considerar uma matriz simétrica A . Mas que matriz é essa?

Uma matriz é considerada simétrica quando esta é igual à sua transposta, ou seja, A = A t !

Lembrando aqui que uma matriz transposta se dá quando mudamos a posição das linhas e colunas de uma matriz!

Além disso, o enunciado nos pede para mostrar que A 2 é simétrica. Pra isso, vamos lembrar que A 2 nada mais é do que A * A .

Mas por que isso é importante aqui?

O produto de duas matrizes simétricas será uma matriz simétrica, se e somente se, as matrizes comutam!

Tá, mas o que isso quer dizer? Como eu sei que A * A comuta?

Vamos pensar isso melhor no passo 2 a seguir!

Passo 2

Quando dizemos que temos duas matrizes que comutam, significa que não importa a ordem em que elas são multiplicadas, teremos sempre a mesma resposta!

Ou seja, tomando duas matrizes A e B , por exemplo. Se A * B = B * A , isso significa que elas comutam!

Para o caso desse exercício aqui, como temos a multiplicação de duas matrizes iguais ( A 2 = A * A ), podemos dizer que justamente por elas serem iguais, que elas comutam!

Então, desse modo podemos afirmar que A 2 é simétrica!!

Bem simples quando paramos para pensar parte por parte, fala aí!!

Bora lá pra próxima questão?

Resposta

D e m o n s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .

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