Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Calcule:

a det ⁡ 0 0 0 d 0 0 c e 0 b f g a h i j

b   det ⁡ M ,   M = 0 ⋯ 0 a 1 0 ⋯ a 2 x ⋮ ⋰ ⋮ ⋮ a n ⋯ x x

Passo 1

a Basta fazermos as trocas L 1 ↔ L 4 e L 2 ↔ L 3 . Chegaremos na seguinte matriz:

a h i j 0 b f g 0 0 c e 0 0 0 d

Como trocamos duas linhas de lugar duas vezes, multiplicamos o determinante por - 1 duas vezes. Logo, ele se permaneceu inalterado. E agora temos uma matriz triangular superior, cujo determinante sabemos calcular:

det ⁡ 0 0 0 d 0 0 c e 0 b f g a h i j = det ⁡ a h i j 0 b f g 0 0 c e 0 0 0 d = a b c d

Passo 2

b O procedimento é o mesmo da letra a . Basta trocarmos as linhas até termos uma matriz triangular superior. Só que dessa vez não sabemos quantas linhas temos então não podemos saber qual será o sinal final do determinante.

Repare, no entanto, que isso não é um problema!! O que está sendo pedido é o módulo do determinante. Como trocar linhas apenas troca o sinal, e este não interessa pra gente, é só multiplicarmos os valores da diagonal secundária da matriz:

det ⁡ M = a 1 ∙ a 2 ∙ … ∙ a n = ∏ i = 1 n a i

Resposta

a det ⁡ 0 0 0 d 0 0 c e 0 b f g a h i j = a b c d

b   det ⁡ M = a 1 ∙ a 2 ∙ … ∙ a n = ∏ i = 1 n a i

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Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
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