Exercícios Resolvidos de Difração por N Fendas

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2015.1, D2

Considere um feixe de luz monocromática, com comprimento de onda λ conhecido, que incide perpendicularmente num conjunto de fendas cuja estrutura queremos descobrir.

Após passar pelas fendas, a luz incide uma placa fotográfica paralela às fendas que registra uma série de traços claros (máximos) e escuros (mínimos) como mostrado na figura abaixo.

Esta figura foi interpretada como tendo uma intensidade relativa dada pela figura seguinte, onde na região entre θ = - 10 ° e θ = + 10 ° foram medidos 17 picos luminosos.

Considere que nos dois pontos referentes a θ = ± 10 ° a intensidade relativa é nula e que sen ⁡ 5 ° ≈ 0,09 e que sen ⁡ 10 ° ≈ 0,18 . Simplifique o máximo possível o seu resultado.

a ) Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?

b ) Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?

c ) Qual a separação entre as fendas?

d ) Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a I 0 ?

Passo 1

a ) Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?

Para interferência com N fendas, sabemos que entre dois máximos principais, existem N - 2 máximos secundários.

No gráfico de intensidade, não temos nenhum máximo secundário entre dois máximos principais, logo:

N - 2 = 0

N = 2   f e n d a s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Caso as fendas fossem pontuais, os máximos principais teriam a mesma amplitude. No gráfico de interferência, podemos ver que, a partir do máximo central, conforme θ aumenta ou diminui, as amplitudes dos máximos principais decaem.

Esse comportamento é típico de difração. Logo, as fendas não são pontuais.

Portanto, as duas fendas possuem uma abertura a e um espaçamento d entre elas.

Passo 3

b ) Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?

A intensidade relativa é dada por:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Onde o termo sen ⁡ β / 2 β / 2 2 está relacionado à difração (é só observar que é na expressão de β que aparece a largura a das fendas).

O enunciado diz que em θ = ± 10 ° a intensidade relativa é nula. Assim, o primeiro mínimo de difração se dará quando:

sen ⁡ β / 2 = 0

β 2 = π

1 2 2 π   a sen ⁡ 10 ° λ = π

π   a sen ⁡ 10 ° λ = π

  a sen ⁡ 10 ° λ = 1

a = λ sen ⁡ 10 °

Segundo o enunciado, sen ⁡ 10 ° ≈ 0,18 . Logo:

a = λ 0,18

Passo 4

c ) Qual a separação entre as fendas?

Se quisermos calcular a separação d entre as fendas, temos que olhar pros efeitos de interferência entre as fendas.

Olhando para a equação da intensidade relativa

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

O termo cos 2 ⁡ γ 2 está relacionado com a interferência (é só observar que é na expressão de γ que aparece a separação d entre as fendas).

Os máximos de interferência no gráfico de intensidade acontecem quando:

cos 2 ⁡ γ 2 = 1

Logo:

γ 2 = m π

Substituindo a expressão de γ , teremos:

1 2 2 π   d sen ⁡ θ λ = m π

d sen ⁡ θ λ = m

d = m λ sen ⁡ θ

Como já esperávamos porque, quando falamos em interferência, os máximos de interferência são dados por:

d sen ⁡ θ = m λ

Agora precisamos de um valor para m .

Passo 5

Bom, o problema nos diz que na região entre θ = - 10 ° e θ = + 10 ° foram medidos 17 picos luminosos.

Como são 17 picos luminosos, eles estarão associados aos seguintes valores de m :

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   ± 4 ,   ± 5 ,   ± 6 ,   ± 7 ,   ± 8

Entretanto, os picos + 8 e - 8 aparecem antes do mínimo de difração, em θ = 10 ° .

Assim, o máximo valor de m corresponderá ao máximo de interferência que coincide com o primeiro mínimo de difração θ = ± 10 ° .

Isso acontece porque, se um máximo de interferência coincide com o mínimo de difração, nós continuaremos não vendo esse pico luminoso, que estaria θ = 10 ° .

Por isso vemos apenas 17 picos luminosos (1 no centro, 8 à esquerda e 8 à direita) e não vemos os dois picos luminosos presentes no ângulo θ = 10 ° à esquerda e à direita.

Esses picos luminosos correspondem a m = ± 9 . Logo, o máximo valor de m é 9.

Sendo assim:

d = m λ sen ⁡ θ

Onde m = 9 e sen ⁡ θ = 0,18 .

d = 9 λ 0,18

d = 50 λ

Passo 6

d ) Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a I 0 ?

A intensidade relativa é dada por:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

O terceiro pico luminoso corresponderá a m = 3 , logo:

d = m λ sen ⁡ θ → sen ⁡ θ = m λ d

sen ⁡ θ = 3 λ d = 3 λ 50 λ

sen ⁡ θ = 3 50

Substituindo as expressões de a , d e sen ⁡ θ , teremos:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ = 2 π λ × λ 0,18 × 3 50

β = 2 π 3 → β 2 = π 3

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ = 2 π λ × 50 λ × 3 50

γ = 6 π → γ 2 = 3 π

Obs: Já escrevi os coeficientes β e γ divididos por dois pois é assim que eles aparecem na fórmula da intensidade relativa.

Passo 7

Agora já podemos calcular a intensidade:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β 2 = π 3

γ 2 = 3 π

Logo:

I = I 0 sen ⁡ π / 3 π / 3 2 cos 2 ⁡ 3 π

I = I 0 3 / 2 π / 3 2 - 1 2

I = I 0 3 / 4 π 2 / 9

I = I 0 3 4 × 9 π 2

I = I 0 27 4 π 2

Resposta

a )

duas fendas no conjunto. Ambas as fendas possuem uma abertura a e um espaçamento d entre elas.

b )

a = λ 0,18

c )

d = 50 λ

d )

I = I 0 27 4 π 2

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