Exercícios Resolvidos de Difração por N Fendas

Origem do Exercício

Um feixe de luz monocromática de frequência natural f = 6 × 10 14 H z ilumina coerentemente um anteparo opaco com 3 fendas idênticas de largura a , e igualmente espaçadas de d = 9   μ m .

Observa-se a figura de interferência em um anteparo distante de L = 40   c m das fendas. Determine:

  1. A distância entre 2 mínimos de interferência. Deixe claro quais foram os mínimos escolhidos.
  2. A distância entre 2 máximos principais de interferência. Deixe claro quais foram os máximos escolhidos.
  3. Determine o valor da largura a tal que o 1° mínimo de difração anule o 3° máximo de interferência.
  4. Utilizando o valor da largura do item “(c)”, quantas franjas brilhantes existem dentro do máximo central da difração?

Passo 1

O mais importante aqui é observar que estamos em um problema de difração em N fendas, onde N = 3 , pois o problema menciona 3 fendas e menciona suas larguras.

Letra a)

Entre pares de máximos principais sucessivos temos N - 1 mínimos, dados por:

ϕ = m 2 π N

Onde m é um número inteiro que não seja múltiplo de N .

No nosso caso, N - 1 = 2 , e assim:

m = 1,2 ,   4,5 ,   7,8 ,   …

ϕ = m 2 π 3

Sendo que ϕ é a diferença de fase devido a distância entre as fendas.

ϕ = d ⋅ sen ⁡ θ λ ⋅ 2 π

sen ⁡ θ = m λ 3 d

Antes de irmos pro próximo passo, um comentário rápido. Como comentei, m é um número inteiro qualquer, e por isso estamos considerando TODOS os mínimos.

Mas tem uma segunda forma de pensar. Seja o máximo de ordem n e o máximo de ordem n + 1 . Os mínimos entre eles vão ser dados por:

ϕ = n ⋅ 2 π + m ' 2 π N

Onde m ' = 1,2 apenas neste caso. Essa equação deixa mais claro aonde estamos na figura de difração por 3 fendas, mas é equivalente ao que conversamos antes.

Rearrumando:

ϕ = N ⋅ n + m ' ⋅ 2 π N

E nesse caso, 2 N ⋅ n + m ' = m , voltando pra nossa equação.

Os dois primeiros mínimos estão entre n = 0 e 1 (o máximo central e o primeiro logo depois), e logo correspondem a:

0 + 1 = 1

0 + 2 = 2

Os mínimos seguintes correspondem a n = 1 , e assim:

3 + 1 = 4

3 + 2 = 5

E por aí vai, no nosso caso sendo:

3 n + m '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para ver então a distância do mínimo até o centro da figura, podemos usar a tangente do ângulo.

tan ⁡ θ = y L

Usando a aproximação de pequenos ângulos, temos que sen ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ ≈ θ .

y L ≈ m λ 3 d

y ≈ m λ L 3 d

Escolhendo o primeiro mínimo ( m = 1 ) e o segundo mínimo ( m = 2 ), a distância entre eles vai ser:

Δ y = λ L 3 d

Pelo enunciado, nós temos que L = 40   c m = 40 ⋅ 10 - 2   m e d = 9   μ m = 9 ⋅ 10 - 6   m . Mas não temos λ , apenas a frequência.

Mas isso é suficiente pra achar λ , pois:

λ f = c

λ = c f

Sendo a frequência f = 6 ⋅ 10 14 H z e c = 3 ⋅ 10 8   m / s . Substituindo tudo:

Δ y = c L 3 f d = 3 ⋅ 10 8 ⋅ 40 ⋅ 10 - 2 3 ⋅ 6 ⋅ 10 14 ⋅ 9 ⋅ 10 - 6 = 40 54 ⋅ 10 6 10 8 = 20 27 ⋅ 10 - 2   m

Δ y ≈ 0,740   c m

Passo 3

Letra b)

Para saber a distância entre dois máximos principais, precisamos saber suas posições, que são dadas por:

sen ⁡ θ = m λ d

Usando o mesmo triângulo de antes, temos:

y = m λ L d

A distância entre os máximos de ordem m = 1 e m = 2 vai ser:

Δ y = λ L d = c L f d = 3 ⋅ 10 8 ⋅ 40 ⋅ 10 - 2 6 ⋅ 10 14 ⋅ 9 ⋅ 10 - 6 = 20 9 ⋅ 10 - 2   m

Δ y ≈ 2,22   c m

Passo 4

Letra c)

O primeiro mínimo de difração corresponde a

sen ⁡ θ = λ a = c f a

O terceiro máximo de interferência corresponde a

sen ⁡ θ = 3 λ d = 3 c f d

Para um anular o outro, essas equações devem ser iguais.

c f a = 3 c f d

d a = 3

a = d 3 = 9 ⋅ 10 - 6 3 = 3 ⋅ 10 - 6   m = 3   μ m

Passo 5

Letra d)

Como o primeiro mínimo de difração elimina a terceira franja brilhante principal, nós temos 2 franjas brilhantes principais de cada um dos lados da franja brilhante central.

Temos então 5 franjas brilhantes principais no máximo central de difração.

Porém, entre cada par de franjas principais consecutivas, temos franjas brilhantes secundárias. Esses pares são:

0   e ± 1

± 1 e ± 2

± 2 e ± 3

Temos 6 pares de franjas principais consecutivas, correspondendo a 6 franjas secundárias.

Somando tudo, temos:

5 + 6 = 11   f r a n j a s

A figura ficaria da seguinte forma:

Têm dois máximos secundários que são muito difíceis de ver, que estão nas laterais dessa parte da envoltória (os extremos à esquerda e à direita).

Essa dificuldade é devido à sua proximidade dos mínimos de difração.

Resposta

Letra a)

Escolhendo os mínimos de ordens m = 1 e m = 2 , temos:

Δ y ≈ 0,740   c m

Letra b)

Escolhendo os máximos principais de ordens m = 1 e m = 2 , temos:

Δ y ≈ 2,22   c m

Letra c)

a = 3   μ m

Letra d)

11   f r a n j a s

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