Exercícios Resolvidos de Difração por N Fendas

Um feixe de luz monocromático de comprimento de onda λ = 0,6   μ m ilumina coerentemente um plano opaco com 4 fendas idênticas de largura a e espaçadas igualmente de d = 5,0   μ m . Observa-se a figura de intensidade em um anteparo distante de L = 1,0   m do plano com as fendas. Determine o que se pede.

a) As posições   y > 0 no ANTEPARO dos TRÊS primeiros pontos de interferência DESTRUTIVA;

b) As posições y > 0 no ANTEPARO dos TRÊS primeiros pontos dos máximo principais. Desconsidere o máximo central;

c) Determine o valor da largura a de cada fenda para que o 1 º mínimo da difração anule o 4 º máximo principal.

Passo 1

a) A fórmula do padrão de intensidade no anteparo distante é dada por:

Φ n = 2 π d λ sen ⁡ θ n = 2 π n 4

Os ângulos dos três primeiros pontos de interferência destrutiva são dados por esta equação com n = 1,2 , 3 . Os valores dos ângulos são dados pelas fórmulas

sen ⁡ θ 1 = 1 × λ 4 d = 0,03

sen ⁡ θ 2 = 2 × λ 4 d = 0,06

sen ⁡ θ 3 = 3 × λ 4 d = 0,09

Utilizando aproximação de pequenos ângulos tan ⁡ θ ≈ sen ⁡ θ ≈ θ , encontramos que as posições dos três primeiros pontos de interferência destrutiva no anteparo distante são dadas pela fórmula y n = L θ n , com n = 1,2 , 3 :

y 1 = 0,03   m = 3,0   c m

y 2 = 0,06   m = 6,0   c m

y 3 = 0,09   m = 9,0   c m

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Passo 2

b) As posições dos ângulos para os três primeiros máximos principais são dadas pela fórmula

Φ m = 2 π d λ sen ⁡ θ m = 2 π m

Na qual n = 1,2 , 3 . Os valores dos ângulos são

sen ⁡ θ 1 = 1 × λ d = 0,12

sen ⁡ θ 2 = 2 × λ d = 0,24

sen ⁡ θ 3 = 3 × λ d = 0,36

Que correspondem às seguintes posições y m = L θ m no anteparo distante

y 1 = 0,12   m = 1 2   c m

y 2 = 0,24   m = 2 4   c m

y 3 = 0,36   m = 3 6   c m

Passo 3

c) O primeiro mínimo da difração ocorre no ângulo sen ⁡ θ = λ a enquanto o quarto máximo principal está posicionado em sen ⁡ θ = 4 λ d . Portanto, os dois pontos anteriores coincidem para

a = d 4 = 1,25   μ m

Resposta

Letra (a): y 1 = 0,03   m = 3,0   c m

y 2 = 0,06   m = 6,0   c m

y 3 = 0,09   m = 9,0   c m

Letra (b):

y 1 = 0,12   m = 12   c m

y 2 = 0,24   m = 24   c m

y 3 = 0,36   m = 36   c m

Letra (c): a = 1,25   μ m

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