Exercícios Resolvidos de Difração por N Fendas

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2015.1, D2

Considere um feixe de luz monocromática, com comprimento de onda Equation conhecido, que incide perpendicularmente num conjunto de fendas cuja estrutura queremos descobrir.

Após passar pelas fendas, a luz incide uma placa fotográfica paralela às fendas que registra uma série de traços claros (máximos) e escuros (mínimos) como mostrado na figura abaixo.

Esta figura foi interpretada como tendo uma intensidade relativa dada pela figura seguinte, onde na região entre Equation e Equation foram medidos 17 picos luminosos.

Considere que nos dois pontos referentes a Equation a intensidade relativa é nula e que Equation e que Equation . Simplifique o máximo possível o seu resultado.

Equation Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?

Equation Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?

Equation Qual a separação entre as fendas?

Equation Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a Equation ?

Passo 1

Equation Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?

Para interferência com Equation fendas, sabemos que entre dois máximos principais, existem Equation máximos secundários.

No gráfico de intensidade, não temos nenhum máximo secundário entre dois máximos principais, logo:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Caso as fendas fossem pontuais, os máximos principais teriam a mesma amplitude. No gráfico de interferência, podemos ver que, a partir do máximo central, conforme Equation aumenta ou diminui, as amplitudes dos máximos principais decaem.

Esse comportamento é típico de difração. Logo, as fendas não são pontuais.

Portanto, as duas fendas possuem uma abertura Equation e um espaçamento Equation entre elas.

Passo 3

Equation Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?

A intensidade relativa é dada por:

Equation

Onde:

Equation

Equation

Onde o termo Equation está relacionado à difração (é só observar que é na expressão de Equation que aparece a largura Equation das fendas).

O enunciado diz que em Equation a intensidade relativa é nula. Assim, o primeiro mínimo de difração se dará quando:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Segundo o enunciado, Equation . Logo:

Equation

Passo 4

Equation Qual a separação entre as fendas?

Se quisermos calcular a separação Equation entre as fendas, temos que olhar pros efeitos de interferência entre as fendas.

Olhando para a equação da intensidade relativa

Equation

Onde:

Equation

Equation

O termo Equation está relacionado com a interferência (é só observar que é na expressão de Equation que aparece a separação Equation entre as fendas).

Os máximos de interferência no gráfico de intensidade acontecem quando:

Equation

Logo:

Equation

Substituindo a expressão de Equation , teremos:

Equation

Equation

Equation

Como já esperávamos porque, quando falamos em interferência, os máximos de interferência são dados por:

Equation

Agora precisamos de um valor para Equation .

Passo 5

Bom, o problema nos diz que na região entre Equation e Equation foram medidos 17 picos luminosos.

Como são 17 picos luminosos, eles estarão associados aos seguintes valores de Equation :

Equation

Entretanto, os picos Equation e Equation aparecem antes do mínimo de difração, em Equation .

Assim, o máximo valor de Equation corresponderá ao máximo de interferência que coincide com o primeiro mínimo de difração Equation .

Isso acontece porque, se um máximo de interferência coincide com o mínimo de difração, nós continuaremos não vendo esse pico luminoso, que estaria Equation .

Por isso vemos apenas 17 picos luminosos (1 no centro, 8 à esquerda e 8 à direita) e não vemos os dois picos luminosos presentes no ângulo Equation à esquerda e à direita.

Esses picos luminosos correspondem a Equation . Logo, o máximo valor de Equation é 9.

Sendo assim:

Equation

Onde Equation e Equation .

Equation

Equation

Passo 6

Equation Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a Equation ?

A intensidade relativa é dada por:

Equation

Onde:

Equation

Equation

O terceiro pico luminoso corresponderá a Equation , logo:

Equation

Equation

Equation

Substituindo as expressões de Equation , Equation e Equation , teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Obs: Já escrevi os coeficientes Equation e Equation divididos por dois pois é assim que eles aparecem na fórmula da intensidade relativa.

Passo 7

Agora já podemos calcular a intensidade:

Equation

Onde:

Equation

Equation

Logo:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Resposta

Equation

duas fendas no conjunto. Ambas as fendas possuem uma abertura Equation e um espaçamento Equation entre elas.

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

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