Exercícios Resolvidos de Difração por N Fendas

UFRJ, Física 4, P1 - 2016.2, Questão D1

Um feixe de luz monocromática de frequência natural Equation ilumina coerentemente um anteparo opaco com 3 fendas idênticas de largura Equation , e igualmente espaçadas de Equation .

Observa-se a figura de interferência em um anteparo distante de Equation das fendas. Determine:

  1. A distância entre Equation mínimos de interferência. Deixe claro quais foram os mínimos escolhidos.
  2. A distância entre Equation máximos principais de interferência. Deixe claro quais foram os máximos escolhidos.
  3. Determine o valor da largura Equation tal que o 1° mínimo de difração anule o 3° máximo de interferência.
  4. Utilizando o valor da largura do item “(c)”, quantas franjas brilhantes existem dentro do máximo central da difração?

Passo 1

O mais importante aqui é observar que estamos em um problema de difração em Equation fendas, onde Equation , pois o problema menciona 3 fendas e menciona suas larguras.

Letra a)

Entre pares de máximos principais sucessivos temos Equation mínimos, dados por:

Equation

Onde Equation é um número inteiro que não seja múltiplo de Equation .

No nosso caso, Equation , e assim:

Equation

Equation

Sendo que Equation é a diferença de fase devido a distância entre as fendas.

Equation

Equation

Antes de irmos pro próximo passo, um comentário rápido. Como comentei, Equation é um número inteiro qualquer, e por isso estamos considerando TODOS os mínimos.

Mas tem uma segunda forma de pensar. Seja o máximo de ordem Equation e o máximo de ordem Equation . Os mínimos entre eles vão ser dados por:

Equation

Onde Equation apenas neste caso. Essa equação deixa mais claro aonde estamos na figura de difração por 3 fendas, mas é equivalente ao que conversamos antes.

Rearrumando:

Equation

E nesse caso, Equation , voltando pra nossa equação.

Os dois primeiros mínimos estão entre Equation e 1 (o máximo central e o primeiro logo depois), e logo correspondem a:

Equation

Equation

Os mínimos seguintes correspondem a Equation , e assim:

Equation

Equation

E por aí vai, no nosso caso sendo:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para ver então a distância do mínimo até o centro da figura, podemos usar a tangente do ângulo.

Equation

Usando a aproximação de pequenos ângulos, temos que Equation .

Equation

Equation

Escolhendo o primeiro mínimo ( Equation ) e o segundo mínimo ( Equation ), a distância entre eles vai ser:

Equation

Pelo enunciado, nós temos que Equation e Equation . Mas não temos Equation , apenas a frequência.

Mas isso é suficiente pra achar Equation , pois:

Equation

Equation

Sendo a frequência Equation e Equation . Substituindo tudo:

Equation

Equation

Passo 3

Letra b)

Para saber a distância entre dois máximos principais, precisamos saber suas posições, que são dadas por:

Equation

Usando o mesmo triângulo de antes, temos:

Equation

A distância entre os máximos de ordem Equation e Equation vai ser:

Equation

Equation

Passo 4

Letra c)

O primeiro mínimo de difração corresponde a

Equation

O terceiro máximo de interferência corresponde a

Equation

Para um anular o outro, essas equações devem ser iguais.

Equation

Equation

Equation

Passo 5

Letra d)

Como o primeiro mínimo de difração elimina a terceira franja brilhante principal, nós temos 2 franjas brilhantes principais de cada um dos lados da franja brilhante central.

Temos então 5 franjas brilhantes principais no máximo central de difração.

Porém, entre cada par de franjas principais consecutivas, temos franjas brilhantes secundárias. Esses pares são:

Equation

Equation e Equation

Equation e Equation

Temos 6 pares de franjas principais consecutivas, correspondendo a 6 franjas secundárias.

Somando tudo, temos:

Equation

A figura ficaria da seguinte forma:

Têm dois máximos secundários que são muito difíceis de ver, que estão nas laterais dessa parte da envoltória (os extremos à esquerda e à direita).

Essa dificuldade é devido à sua proximidade dos mínimos de difração.

Resposta

Letra a)

Escolhendo os mínimos de ordens Equation e Equation , temos:

Equation

Letra b)

Escolhendo os máximos principais de ordens Equation e Equation , temos:

Equation

Letra c)

Equation

Letra d)

Equation

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