Exercícios Resolvidos de Dilatação Térmica

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Enunciado

Inicialmente a uma certa temperatura um bloco de densidade ρ b e coeficiente de dilatação volumétrica β b está parcialmente submerso em um líquido de densidade volumétrica ρ l e coeficiente de dilatação volumétrica β l . Considere que nesta situação a razão entre o volume submerso e o volume total do bloco seja r 0 . Após uma variação de temperatura ∆ T , ambos o bloco e o líquido irão se dilatar de forma que o bloco continua parcialmente submerso. A nova razão entre o volume submerso e o volume total do bloco será:

(a) r 0 1   +   β l ∆ T 1   +   β b ∆ T

(b) r 0 1   +   β b ∆ T 1   +   β l ∆ T

(c) r 0 β l β b

(d) r 0 β b β l

Passo 1

Bom, primeiro vamos lembrar da fórmula de dilatação térmica volumétrica, em que o volume final será:

v f = v 0 + v 0 γ ∆ T

Usaremos essa fórmula tanto para a dilatação do bloco quanto para a dilatação do líquido.

Além disso, o enunciado nos disse duas coisas beeemmm importantes: que a razão entre o volume submerso e o volume total do bloco é r 0 , no início, ou seja: v s u b m e r s o   i n i c i a l v 0 b = r 0 . E que antes da dilatação, o bloco está parcialmente submerso e depois da dilatação continua. Isso nos leva a entender que a razão entre o volume submerso e o volume de líquido permanece igual, ou seja: v s u b m e r s o v l í q u i d o = C o n s t a n t e !!

Passo 2

Beleza, então vamos por partes. Temos que achar os volumes finais do bloco e submerso.

O volume final do bloco, após a dilatação:

v f b = v 0 b + v 0 b β b ∆ T = v 0 b ( 1 + β b ∆ T )

Agora, para calcular o volume do bloco submerso após às dilatações do líquido e do bloco, vamos usar a relação v s u b m e r s o v l í q u i d o = C o n s t a n t e :

v s u b m e r s o   i n i c i a l v 0 l = v s u b m e r s o   f i n a l v f l

Onde v f l = v 0 l + v 0 l β l ∆ T = v 0 l ( 1 + β l ∆ T )

v s u b m e r s o   i n i c i a l v 0 l = v s u b m e r s o   f i n a l v 0 l ( 1 + β l ∆ T )

v s u b m e r s o   f i n a l = ( 1 + β l ∆ T ) v s u b m e r s o   i n i c i a l

Passo 3

O que o problema quer é:

v s u b m e r s o   f i n a l v f b

E, por enquanto, temos:

v s u b m e r s o   f i n a l v f b = 1 + β l ∆ T v s u b m e r s o   i n i c i a l v 0 b 1 + β b ∆ T

Agora vamos só olhar pra outra relação do enunciado:   v s u b m e r s o   i n i c i a l v 0 b = r 0 → v s u b m e r s o   i n i c i a l = r 0 v 0 b . E vamos ficar com:

v s u b m e r s o   f i n a l v f b = 1 + β l ∆ T r 0 v 0 b v 0 b 1 + β b ∆ T

v s u b m e r s o   f i n a l v f b = r 0 1 + β l ∆ T 1 + β b ∆ T

Ufa, foi 😊!

Resposta

Alternativa (a).

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