Exercícios Resolvidos de Dilatação Térmica

UERJ – Lista da 2ª Prova

Logo após a Terra ter sido formada, o calor liberado pelo decaimento dos elementos radioativos elevou a temperatura média interna de 300   K para 3000   K , cujo valor aproximado permanece até hoje. Admitindo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3 ⋅ 10 - 5 K -1 , de quanto o raio da Terra aumentou desde sua formação?

Passo 1

Nesse problema, vamos lidar com uma dilatação volumétrica de uma esfera que, no caso, é a nossa Terra. Por isso, as fórmulas que vamos usar são as seguintes:

Volume de uma esfera:

V = 4 π R 3 3

E

V = V 0 + V 0 γ ∆ T

E os dados que temos são:

Coeficiente de dilatação volumétrica médio: γ = 3 x 10 - 5   K -1

A variação de temperatura :

∆ T = 3000 - 300 = 2700   K

Partiu resolver essa questão? (:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que queremos saber nessa questão é quanto o raio da terra aumentou. O raio, antes do aquecimento, era R 0 , e, após o aquecimento, tornou-se R . Isso causou um aumento de volume, certo? Se liga na figura:

A gente pode calcular a variação do volume assim:

∆ V = V - V 0 = V 0 γ ∆ T     → V = V 0 + V 0 γ ∆ T = V 0 ( 1 + γ ∆ T )

Só que tanto V quanto V 0 são volumes de esferas! Então a gente pode escrever a expressão acima dessa forma:

V = V 0 1 + γ ∆ T  

4 π R 3 3 = 4 π R 0 3 3 ( 1 + γ ∆ T )

Simplificando a expressão acima:

R 3 = R 0 3 ( 1 + γ ∆ T )

Passo 3

Bom, temos tudo que precisamos. Vamos agora isolar R totalmente na equação:

R = R 0 1 + γ ∆ T 3

Substituindo os valores que temos:

R = R 0 1 + γ ∆ T 3  

R = R 0 1 +   2700.3 x 10 - 5 3

R = R 0 1,081 3

R = 1,026 R 0

Pronto (: Isso quer dizer que o raio da Terra aumentou em um fator de 1,026.

Resposta

R = 1,026 R 0

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