Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

04) Pedro e Paulo decidem se encontrar em um certo local. Se cada um deles chega a esse local independentemente em um instante uniformemente distribuído entre meio-dia e uma hora da tarde, qual a probabilidade de que o primeiro a chegar espere mais do que 20 minutos?

A) 5 / 9

B) 2 / 3

C) 1 / 2

D) 4 / 9

E) 1 / 3

Passo 1

Faaaaala galera, como vocês estão?

Aqui temos uma questão de probabilidade que fala sobre o encontro de dois amigos, que combinaram de chegar em um local entre meio-dia e uma hora, mas ninguém quer esperar mais do que 20 minutos. Precisamos descobrir qual a probabilidade disso acontecer, ou seja, do primeiro a chegar esperar mais do que 20 minutos.

Tem uma palavrinha-chave no enunciado que vai nos dar todo o caminho de como resolver essa questão, você consegue achar ela?

É o trechinho que diz “...instante uniformemente distribuído”. Ou seja, o tempo de espera nesse exercício é uma variável aleatória da distribuição uniforme. Isso é fundamental, por ser uniforme cada instante de tempo entre 12 e 13 h r s é equiprovável. Então, bora relembrar a sua função de densidade:

f x =   1 b - a ,     a ≤ x ≤ b 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Massa! Nesse caso, como os amigos chegam entre meio-dia e uma hora da tarde, podemos considerar a = 0 e b = 60 .

Passo 2

Então, já entendemos o que está acontecendo na questão, mas como é que resolve ela?

Nesse caso, se tentássemos calcular a probabilidade usando a função de densidade teríamos algumas dificuldades. Isso porque, não temos apenas uma variável x representando o tempo, na realidade o horário que Pedro e que Paulo chegam representam, cada um, uma variável. Isso dificulta um bocado a nossa vida.

Maaaas, trago boas novas, tem uma forma de calcular essa probabilidade sem nem tocar em integral, usando apenas o recurso gráfico! Vem comigo!

Esse gráfico representa, em x e y , os instantes que Paulo e Pedro podem chegar, respectivamente. Cada um deles pode chegar entre 0 e 60 minutos. Inicialmente traçamos a reta y = x que representa os pontos nos quais os amigos chegam no mesmo horário.

Imagina agora que Paulo é o amigo que chega atrasado, então se ele respeitar os 20 minutos de tolerância temos as seguintes possibilidades:

Nota que nesse gráfico, para cada valor possível de chegada de Pedro (reta y = x ), temos um correspondente valor limite para chegada de Paulo (Reta limite). Qualquer valor entre essas duas retas (região em amarelo) respeita a tolerância de 20 minutos.

Beleza, mas e se quem estiver atrasado for Pedro? Bora desenhar o gráfico análogo também.

Assim como fizemos anteriormente, traçamos também a reta limite para Pedro. Toda essa região em verde compreende os possíveis instantes em que Pedro pode chegar atrasado respeitando a tolerância de 20 minutos em relação a Paulo.

Passo 3

Beleza, fizemos esses gráficos, mas como que isso nos ajuda?

É que, já que a distribuição é uniforme, cada par ( t P a u l o ,   t P e d r o ) são equiprováveis. Assim, a probabilidade pode ser calculada através da razão de áreas desse gráfico.

Nesse caso, queremos a probabilidade dos amigos chegarem mais de 20 minutos atrasados um em relação ao outro.

Podemos usar a complementaridade e calcular, inicialmente, a probabilidade deles respeitarem a tolerância de 20 minutos. Assim:

P = A v e r d e + a m a r e l o A T o t a l

Pois, como mostramos anteriormente, a área verde e amarelo correspondem ao respeito de tolerância do atraso.

Temos:

A v e r d e   + a m a r e l o = 2 ⋅ 60 2 2 - 40 2 2 = 2000   u . a

Já a A T o t a l , é o retângulo 60 × 60 completo. Daí:

A T o t a l = 60 2 = 3600   u . a

Portanto, temos:

P = A v e r d e + a m a r e l o A T o t a l = 2000 36000

⇒ P = 5 9

Porém, como a probabilidade que queremos é a complementar a essa, vem que:

P a t r a s o = 1 - P

P a t r a s o = 4 9

Prontinho! Gostaram da sacada? Essa ideia minimiza bastante as contas.

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

Letra D: 4 / 9

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