Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade

f X x = k x ,   0 ≤   x ≤ 1 3 e - 3 2 x , 1 ≤   x ≤ ∞ 0   ,   x ∉ [ 0 , ∞ ]

Pede-se:

a) Qual o valor do parâmetro 𝑘 para que 𝑓 seja uma função de densidade de probabilidade. Apresente a função de densidade de probabilidade e seu domínio.

b) Encontre a Probabilidade de 0 < X < 3 ?

Passo 1

E aí, galerinha!

Tarefinha 3, agora!

Bora pra questão 3!

Bom! Nessa primeira letra, a questão dá a função f X ( x ) , igual à...

f X x = k x ,   0 ≤   x ≤ 1 3 e - 3 2 x , 1 ≤   x ≤ ∞ 0   ,   x ∉ [ 0 , ∞ ]

Passo 2

a) Pois muito bem! Pelo que vimos na Teoria, para mostrar que é uma f . d . p é preciso que a soma das integrais dê igual a um certo valor, né não?

Então vamos integrar...

Para 0 ≤   x ≤ 1 , temos que:

∫ 0 1 k x d x

∫ 0 1 k x d x = k x 2 2 0 1 = k 2

Para 1 ≤   x ≤ ∞ :

∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x d x

∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x d x = lim x → ∞ ⁡ ∫ 1 L 3 e - 3 2 x d x = lim x → ∞ ⁡ ∫ 1 x 3 e - 3 2 x d x = lim x → ∞ ⁡ - 2 e - 3 2 x 1 x =

= lim x → ∞ ⁡ [ - 2 e - 3 2 x + 2 e - 3 2 ] = 2 e - 3 2 = 2 e 3 2

Para qualquer valor diferente de   [ 0 , ∞ ] , a integral vai dar zero. E lembra que o produtor falou que a soma das integrais tem que dar certo valor!

Pois muito bem! Esse valor é 1 ! Logo;

k 2 + 2 e 3 2 = 1

k 2 = e 3 2 e 3 2 - 2 e 3 2

k 2 = e 3 2 - 2 e 3 2

k e 3 2 = 2 e 3 2 - 4

k = 2 e 3 2 - 4 e 3 2

k = 2 - 4 e 3 2

k = 1.1075

Passo 3

b) Em seguida, temos que calcular a probabilidade de 0 < X < 3 !

Ora bolas! Segundo a função que temos do enunciado, essa probabilidade vai ser dada pela soma das seguintes integrais...

P 0 < X < 3 = ∫ 0 1 k x d x + ∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x d x

Como k = 1.1075 ...

P 0 < X < 3 = ∫ 0 1 1.1075 x d x + ∫ 1 ∞ 3 e - 3 2 x d x

Calculando isso, temos que...

P 0 < X < 3 = 1.1075 x 2 2 0 1 + - 2 e - 3 2 x 1 3

P 0 < X < 3 = 1.1075 - 0 2 + - 2 e - 9 2 + 2 e - 3 2

P 0 < X < 3 = 0.55375 + - 2 e - 9 2 + 2 e - 3 2

P 0 < X < 3 = 0,97778

P 0 < X < 3 ≅ 97,78 %

Resposta

a) k = 1.1075

b) P 0 < X < 3 ≅ 97,78 %

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