Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

06) O tempo de espera T em uma pizzaria de São Paulo depois que o pedido é realizado é uma variável aleatória uniformemente distribuída com média E T = 20 min e variância σ 2 T = 64 / 3 min². A probabilidade de se esperar mais do que 24 min vale:

A) 1 / 8

B) 3 / 16

C) 1 / 16

D) 1 / 4

E) 1 / 2

Passo 1

Eaí gente bonita, tudo bom com vocês?

Temos aqui uma questão de probabilidade bem interessante, que já no início nos diz que o tempo de espera em uma pizzaria segue uma distribuição uniforme. Vocês lembram dela?

Basicamente, é uma distribuição de probabilidade para V.A contínua, em que a função de densidade acumulada, F ( X ) , em um intervalo [ a , b ] obedece a:

F X =   { 0 ,     x < a   x - a b - a ,     a ≤ x < b   1 ,     x ≥ b  

Além disso, a sua média e variância valem:

E X = a + b 2

V a r X = b - a 2 12

Beleza, agora que já demos uma revisada rápida na distribuição uniforme, a questão quer que a gente calcule a probabilidade do tempo de espera T ser maior do que 24 min.

Passo 2

Massa! Mas e como é que podemos calcular essa probabilidade?

O segredo está exatamente na função de distribuição acumulada, FDA. Pois em distribuições de probabilidade, a FDA, F ( X = x ) representa exatamente a probabilidade de termos X ≤ x , ou seja:

F x = P ( X ≤ x )

Mas, nessa questão estamos querendo calcular P ( X > 24 ) . Daí é só usarmos a complementaridade da probabilidade, pois:

P X ≤ 24 + P X > 24 = 1

Logo:

P X > 24 = 1 - P X ≤ 24

⇒ P X > 24 = 1 - F ( 24 )

Top! Agora é só substituirmos na nossa fun...

OPA! Não sabemos quem é b e a . Antes precisamos determiná-los. É por isso que no enunciado tem umas informações extras sobre a média e a variância. Vamos usá-las então:

E T = a + b 2 = 20

V a r X = b - a 2 12 = 64 3

Daí, podemos montar duas equações:

a + b = 40           ( I )

b - a 2 = 256

Logo:

b - a = 256 = 16         ( I I )

Somando I + ( I I ) , vem que:

2 b = 56

∴ b = 28

⇒ 28 + a = 40  

∴ a = 12

Prontinho!

Passo 3

Beleza! Agora sim, como já determinamos a e b , e sabendo também que:

P X > 24 = 1 - F ( 24 )

Podemos substituir os dados na função F . Daí:

P X > 24 = 1 - 24 - 12 28 - 12

P X > 24 = 1 - 12 16 = 4 16

Logo, finalmente chegamos que:

P X > 24 = 1 4

Isso aí galera! Questão bem legal, espero que todos tenham entendido bem! Já vamos aproveitar o embalo para ir matar a próxima questão também, espero vocês lá!

Resposta

Letra D: 1 / 4

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