Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Uniforme no intervalo de - θ , + θ . Em cada caso abaixo calcule " θ " de forma a satisfazer a condição dada.

a) P X > 1 2 = 1 4

b) P X < 1 4 = 3 4

c) P X > 1 2 = 2 ⋅ P r X < - 1

Passo 1

Estamos tratando de uma v.a. com densidade Uniforme, vamos primeiro recapitular qual a função de densidade da v.a. Uniforme.

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Porém, pra calcular as probabilidades, vamos usar a função acumulada FDA, que é:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b

Nessa questão, como o intervalo é - θ , + θ , vamos ter que:

a = - θ

b = θ

Aí vamos ter que:

F x = x + θ 2 θ

Beleza? Entendeu direitinho, aí!?

Passo 2

(a) Bom! Vamos resolver esse primeiro item aí! Nele, a gente tem que calcular a seguinte probabilidade...

P X > 1 2 = 1 4

Só que essa probabilidade acima, também pode ser escrita como...

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

Usando a FDA, é só substituir x = 1 / 2 . Fazendo isso, temos que

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

E essa relação acima tem que ser igual à 1 4 .

1 - 1 2 + θ 2 θ = 1 4

Passo 3

Resolvendo matematicamente... E arranjando as variáveis, podemos obter o valor de θ ...

1 2 + θ 2 θ = 3 4

1 2 + θ = 3 2 . θ

θ - 3 2 θ = - 1 2

- 1 2 θ = - 1 2

θ = 1

Passo 4

(b) Para esse segundo item, por sua vez, é pedida a seguinte probabilidade

P X < 1 4 = 3 4

E então, é só aplicar direto a FDA...

P X < 1 4 = 1 4 + θ 2 θ = 3 4

1 4 + θ = 3 2 θ

θ - 3 2 θ = - 1 4

- 1 2 θ = - 1 4

θ = 1 2

Passo 5

(c) E pra finalizar, é pedido pra gente calcular a probabilidade abaixo...

P X > 1 2 = 2 ⋅ P X < - 1

Bom! A probabilidade acima do primeiro lado, pode ser escrita como:

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2 =

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

E a do segundo lado, pode ser escrita como:

P X < - 1 = - 1 + θ 2 θ

Agora é só juntar tudo numa equação e resolver.

Passo 6

P X > 1 2 = 2 P X < - 1

1 - 1 2 + θ 2 θ = 2 ⋅ - 1 + θ 2 θ

Cortando o 2   ali...

1 - 1 2 + θ 2 θ = - 1 + θ θ

E depois, multiplicando geral por 2 θ ...

2 θ - 1 2 + θ = - 2 + 2 θ

Agora, é só cortar o 2 θ dos dois lados...

- 1 2 - θ = - 2

θ = - 1 2 + 2

θ = 3 2

Resposta

a   θ = 1

b   θ = 1 2

c   θ = 3 2

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