Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

A probabilidade de ocorrência de vazamento em uma tubulação de gás é distribuída uniformemente ao longo de toda sua extensão de 100 k m   . Tem-se uma central de manutenção localizada no início da tubulação. A tubulação dispoe de um sistema de detecção de vazamento que imediatamente emite um sinal de alarme para a acentral de manutenção indicando a posição do vazamento. Para a preparação e deslocamento até o ponto de vazamento a equipe demora um certo tempo t   em horas dado por t   =   0.001 x 2   +   2 , onde x   é a distância até o ponte de vazamento em kilometros. Qual é o tempo médio (em horas) que a equipe de manutenção leva até chegar ao local do vazamento?

Passo 1

Fala pessoal. Vamos para mais uma questão. Como o texto dessa questão é grande, é preciso ler com calma para obter as informações importantes do problema.

Tamanho da tubulação é 100 k m   e os vazamentos são distribuídos de forma uniforme.

  • Então, se X   for a variável aleatória indicando a posição do vazamento tem-se que X   ∼ U n i f 0,100
  • A variável aleatória T   =   0.001 X 2   +   2 indica o tempo necessário para a equipe chegar até o vazamento (Note que o valor t   é uma realização da da variável aleatória T   . )

Por fim, queremos calcular E T

Passo 2

Agora que temos as informações do problema bem organizadas, podemos começar a resolvê-lo. Mas primeiro vamos relembrar algumas propriedades da esperança.

  • E a X   +   b   =   a E X   +   b (linearidade)
  • E g X   =   ∫ Ω   g x f x d x f   função de densidade de X   (Estatístico preguiçoso)

Com isso temos:

E T   =   E 0.001 X 2   +   2  

E 0.001 X 2   +   2   =   0.001 E X 2   +   2

Como X   ∼ U n i f 0,100

E X 2   = 100   -   0 2 3

E X 2   =   100 2 3

⇒   E T   =   0.001 10000 3   +   2

0.001 10000 3   +   2   =   10 3   +   2  

⇒   E T   =   5.333 …  

Resposta

  5.333 …    

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