Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

Ver Teoria

Enunciado

Em um terminal chegam 12   ônibus independentemente e aleatoriamente entre 17 h   e   18 h . O momento de chegada de cada ônibus segue uma distribuição uniforme. O número de ônibus que chegam entre 17 h 15   e   17 h 30 têm esperança μ e desvio padrão σ . O valor de μ σ é:

Passo 1

Fala pessoal, vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos revisar as informações passadas no enunciado.

Temos:

12   ônibus chegam aleatoriamente entre 17 h   e   18 h .

Se X i representa o tempo de chegada do i-ésimo ônibus, então X i   ∼ U n i f 17,18

Os ônibus chegam de forma independente.

Queremos calcular μ σ , onde μ é a média do número de ônibuss que chegam entre 17 h 15   e   17 h 30 e σ o desvio padrão, que é a raiz da variância.

Passo 2

Como queremos calcular μ σ , vamos primeiro descibrir quem são μ   e   σ . De que forma podemos obter essa média e essa variâcia? Será que podemos descobrir qual é a distribuição do número de onibus que chegam entre 17 h 15   e   17 h 30 ? O que vocês acham?

Talvez se usarmos o fato que cada ônibus X i   ∼ U n i f 17,18 podemos concluir algo.

Mãos a obra!!

Passo 3

Vamos tentar calcular a probabilidade do ônibus i chegar ao terminal entre 17 h 15   e   17 h 30 .

Lembrando que se Y ∼ u n i f a , b então P c < Y < d   =   d - c b - a

Sendo assim,

P 17 h 15 < X i < 17 h 30   =   17 h 30 -   17 h 15 18 h   - 17 h

=   15 m i n 1 h

=   1 4

E a probabilidade dele NÃO chegar entre 17 h 15   e   17 h 30 ? Como o evento do ônibus não chegar entre 17 h 15   e   17 h 30 é o complementar de ele chegar entre 17 h 15   e   17 h 30 tem-se que

(Pela probabilidade de eventos complementares)

P n   chegar   entre   17 h 15   e   17 h 30 = 1 - P chegar   entre   17 h 15   e   17 h 30

= 3 4

Passo 4

Agora que sabemos a probabilidade do ônibus X i chegar entre 17 h 15   e   17 h 30 , podemos nos perguntar qual a probabilidade de exatamente k ônibus, dos 12 , chegarem entre 17 h 15   e   17 h 30 .

Vamos supor que os ônibus 1,2 , . . . , k chegam entre 17 h 15   e   17 h 30

Como os ônibus chegam de forma independente. A probabilidade será:

1 4 k 3 4 12 - k

Supomos que k ônibus chegaram, mas não sabemos em que ordem, ou quais ônibus. Então, precisamos descobrir de quantas formas k ônibus podem chegar entre 17 h 15   e   17 h 30 . Isto é, de quantas formas podemos escolher k ônibus em 12 ? Isso será a combinação de 12 escolhe k que é: 12 ! k ! 12 - k !  

Então chegamos à conclusão que a probabilidade de exatamente k ônibus, dos 12 , chegarem entre 17 h 15   e   17 h 30 é:

12 ! k ! 12 - k !   1 4 k 3 4 12 - k

Essa estrutura parece familiar, não acha?

Pois essa é a distribuição de uma Binomial( 12 , 1 / 4 ).

Passo 5

Vamos lembrar, queríamos calcular primeiro μ   e   σ para depois obtermos μ σ .

No passo anterior, chegamos a conclusão que o número de ônibus que chegam entre 17 h 15   e   17 h 30 segue uma distribuição Binomial( 12 , 1 / 4 ).

Então, a média e variância de uma binomial são manjadas. E são:

μ   =   n p     e     σ 2   =   n p 1 - p .

No nosso caso, n = 12 ,   e   p   =   1 4  

Então:

μ   =   12 ⋅ 1 4

  =   3  

σ   =   12 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4

  = 3 2

Logo

μ σ   =   3 3 2

=   2  

Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!! 😊

Resposta

2  

Exercícios de Livros Relacionados

Erro de medida, que é distribuído contínua e uniformemente de -3 a +3 milivolts, é adicionado ao valor verdadeiro da tensão de um circuito. Então, a medida é arredondada para o milivolt mais próximo,
A espessura de um flange em um componente de espaçonave é uniformemente distribuída entre 0.95 e 1.05 milímetros.Determine a função de distribuição cumulativa da espessura do flange.Determine a propor
Suponha que a variável aleatória discreta X tome os valores 1, 2 e 3 com igual probabilidade. Ache a distribuição de probabilidade de Y = 2X + 3.
Com referência ao Ex. 4.10, calcule P(X = 2), se n = 4 e, para n arbitrário, verifique P(X = n-1) = P (exatamente uma tentativa mal sucedida) é igual a 1 n + 1 ∑ 1 i
Um experimento consiste em tentativas independentes. Deve-se admitir que por causa da "aprendizagem", a probabilidade de obter um resultado favorável cresça com o número de tentativas realizadas. Espe