Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

Um ponto é selecionado aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento L   . O ponto divide o segmento em duas partes. Qual a probabilidade de que nenhum dos dois segmentos resultantes sejam inferiores a L / 3   ?

Passo 1

Fala pessoal. Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Dessa vez temos uma reta de tamanho L   , e queremos saber qual a probabilidade de nenhum dos segmentos gerados ao escolher um ponto na reta sejam menores que L 3

Essa questão é muito bacana, vamos resolvê-la

Passo 2

Primeiramente, vamos fazer um desenho.

Isso mesmo um desenho. Vamos utilizá-lo para visualizar as regiões da reta nas quais ao escolhermos um ponto, um dos segmentos resultantes tem tamanho menor que L 3

Em vermelho, temos as regiões nas quais se escolhermos um ponto contido nela um dos seguimentos resultantes será menor que L 3 . Então nosso ponto NÃO pode cair nessa região. Com qual probabilidade isso ocorrer, isto é se X   for a posição do nosso ponto na reta, quem é

P L 3 ≤     X   ≤   2 L 3 ?

Passo 3

O enunciado nos diz que o ponto é escolhido de forma aleatória, isso quer dizer que é escolhido uniformemente na reta de tamanho L   . Como a escolha é uniforme, a chance de cair em qualquer intervalo será o tamanho do intervalo dividido pelo tamanho da corda, que é L   . Em equação temos:

P a ≤     X   ≤   b   =   b - a L

⇒   P L 3 ≤     X   ≤   2 L 3   =   2 L 3 - L 3 L

  =   1 3

Muito bacana o resultado né? Deixo aqui uma pergunta, será que se o tamanho desejado fosse maior que   L 4 a probabilidade seria de 1 4 ou seria maior que 1 3 ? Esse é um bom questionamento, compensa vocês pensarem.

Bons estudos e até a próxima questão!!!

Resposta

  1 3

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