Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

Probabilidade e Estatística – PUC-Rio – 2019.2 - P2

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo de - θ , θ . Para cada item da parte inferior, calcule o valor de θ de forma a satisfazer a condição dada.

  1. P ( X > 1 / 2 ) = 1 / 4 ;
  2. P ( X < 1 / 2 ) = 3 / 4 ;
  3. P ( X > 1 / 2 ) = 2 ⋅ Pr ⁡ X < - 1 .

Passo 1

Bom, estamos trabalhando com uma variável aleatória contínua com densidade uniforme. Portanto, nosso primeiro ponto é escrevermos a função de probabilidade para esta variável.

Para distribuições uniformes em geral no intervalo a , b , a função probabilidade é dada por:

f x = 1 b - a , s e   x ∈ a , b 0 ,   s e   x ∉ a , b

Para o nosso caso, o intervalo é - θ , θ . Portanto, nossa função f é dada por:

f x = 1 2 θ , s e   x ∈ - θ , θ 0 ,   s e   x ∉ - θ , θ

Agora que escrevemos a relação da nossa função, podemos escrever a relação matemática que devemos calcular. Para isto, vamos usar a identidade dada na questão. Neste caso, temos:

P ( X > 1 / 2 ) = 2 ⋅ Pr ⁡ X < - 1

Mas sabemos que a probabilidade pode ser escrita através da seguinte integral:

∫ 1 / 2 ∞ f x d x = 2 ⋅ ∫ - ∞ - 1 f x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nosso trabalho agora é resolvermos a integral descrita no final do Passo 1. Ao resolvermos ela, vamos conseguir obter o valor de θ que satisfaz a nossa relação.

Então, vamos lá para a parte da integração. Portanto,

∫ 1 / 2 ∞ f x d x = 2 ⋅ ∫ - ∞ - 1 f x d x

∫ 1 / 2 θ f x d x + ∫ θ ∞ f x d x = 2 ⋅ ∫ - ∞ - θ f x d x + ∫ - θ - 1 f x d x

Temos que assumir que - θ < - 1 < 1 2 < θ . Caso isto não fosse verdade, se θ < 1 / 2 ou - 1 < - θ , as probabilidades de ambos os eventos seriam nulas (o que toraria a igualdade uma verdade, mas não é esta a resposta que estamos buscando aqui).

Vamos continuar a análise assumindo que - θ < - 1 < 1 2 < θ , assim, descobriremos apenas um único valor para a nossa resposta.

Agora que separamos os intervalos de integração das nossas integrais (através das propriedades de integrais), vamos substituir o valor de f x para cada um dos intervalos. Logo,

∫ 1 / 2 θ 1 2 θ d x + ∫ θ ∞ 0 ⋅ d x = 2 ⋅ ∫ - ∞ - θ 0 ⋅ d x + ∫ - θ - 1 1 2 θ d x

∫ 1 / 2 θ 1 2 θ d x = 2 ⋅ ∫ - θ - 1 1 2 θ d x

1 2 θ ⋅ x 1 / 2 θ = 2 ⋅ 1 2 θ ⋅ x - θ - 1

1 2 θ ⋅ θ - 1 2 = 1 θ ⋅ - 1 + θ

Agora, basta resolvermos a equação acima. Portanto,

1 2 ⋅ θ - 1 2 = - 1 + θ

θ - 1 2 = - 2 + 2 θ

θ = 3 2

Portanto, o valor de θ que satisfaz a relação é θ = 3 / 2 .

Resposta

θ = 3 / 2

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