Exercícios Resolvidos de Espelhos Esféricos

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 66

a Um ponto luminoso está se movendo com velocidade v 0 em direção a um espelho esférico de raio de curvatura r , ao longo do eixo central do espelho. Mostre que a imagem do ponto está se movendo com uma velocidade dada por

v l = - r 2 p - r 2 v 0

Onde p é a distância instantânea entre o ponto luminoso e o espelho.

Suponha agora que o espelho é côncavo, com um raio de curvatura r = 15   c m , e que v 0 = 5,0   c m / s   .

Determine a velocidade da imagem v l b para p = 30   c m (bem mais longe do espelho que o ponto focal), c p = 8,0   c m (ligeiramente mais longe do espelho que o ponto focal) e d p = 10   m m (muito perto do espelho).

Passo 1

a Mostre que a imagem do ponto está se movendo com uma velocidade dada por

v l = - r 2 p - r 2 v 0

Onde p é a distância instantânea entre o ponto luminoso e o espelho.

A seguinte equação relaciona as distâncias f , i e p :

1 f = 1 i + 1 p

Reorganizando essa equação, encontramos o seguinte:

i = p . f p - f

Onde:

f = r 2

Substituindo na equação acima, teremos:

i = p . r 2 p - r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A velocidade da imagem será dada por:

v l = d i d t = - r v 0 2 p - r + 2 v 0 p r 2 p - r 2

Onde v 0 = d p / d t .

Agora vamos no braço, passo a passo da conta!

v l = - r 2 p - r + 2 p r 2 p - r 2 v 0

v l = - 2 p r + r 2 + 2 p r 2 p - r 2 v 0

v l = r 2 2 p - r 2 v 0

v l = r 2 p - r 2 v 0

Considerando a velocidade do objeto como positiva, como a imagem se move no sentido oposto, v l será dado por:

v l = - r 2 p - r 2 v 0

Passo 3

b Determine a velocidade da imagem v l para p = 30   c m (bem mais longe do espelho que o ponto focal).

Sabendo que v 0 = 5   c m / s e r = 15   c m , temos que:

v l = - 15 2 × 30 - 15 2 × 5

v l = 0,56   c m / s

Passo 4

c Determine a velocidade da imagem v l para p = 8,0   c m (ligeiramente mais longe do espelho que o ponto focal).

Sabendo que v 0 = 5   c m / s e r = 15   c m , temos que:

v l = - 15 2 × 8 - 15 2 × 5

v l = 1125   c m / s

Passo 5

d Determine a velocidade da imagem v l para p = 10   m m (muito perto do espelho).

Sabendo que v 0 = 5   c m / s e r = 15   c m , temos que:

v l = - 15 2 × 1 - 15 2 × 5

v l = 6,7   c m / s

Resposta

b v l = 0,56   c m / s

c v l = 1125   c m / s

d v l = 6,7   c m / s

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