Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Passo 1

Bom, da para ver que o exercício trata de uma utilização do Teorema da Existência e Unicidade, não é mesmo? Vamos escrever essa equação na forma completa e começar a determinar nosso interval.

2 y i v + 0 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 0 y ' + 4 x y = 3 ln ⁡ x

a 4 x = 2 ,         a 3 x = 0 ,     a 2 x = - 3 x 2 ,     a 1 x = 0 ,     a 0 x = 4 x

g x = 3 ln ⁡ x

Agora temos que encontrar um intervalo contendo 2 onde todas essas funções sejam continuas e a 4 ( x ) ≠ 0 .

Passo 2

De imediato a gente percebe que a 4 , a 3 , a 2 , a 1     e   a 0   são continuas em todos os reais. Demos sorte também que

a 3 = 2 ≠ 0

Mas e g ( x ) ? Bom, sabemos que a função ln ⁡ x só adimite valores positivos.

Passo 3

Nós sabemos agora que o nosso intervalo deve conter 2 , e apenas os números positivos. Então

( 0 , ∞ )

Resposta

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.12. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.7-t y
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.11. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y