Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Passo 1

Dá pra gente ver de cara que isso se trata de uma utilização do Teorema da Existência e Unicidade né? Vamos escrever essa equação na forma completa e dar nome aos bois antes de mais nada.

x 2 - 4 y ' ' ' + 0 . y ' ' + x - 1 y ' + 4 x y = 1 x

a 3 x = x 2 - 4 ,     a 2 x = 0 ,     a 1 x = x - 1 ,     a 0 x = 4 x ,     g x = 1 x

Agora temos que encontrar um intervalo contendo - 1 onde todas essas funções sejam continuas e a 3 ( x ) ≠ 0 .

Passo 2

De imediato a gente percebe que a 3 , a 2 , a 1   e   a 0 são continuas em todos os reais. Menos um problema pra gente. Já g ( x ) não pode ter o seu denominador igual a zero logo.

x ≠ 0

Vamos analisar a 3 agora.

x 2 - 4 ≠ 0

x 2 ≠ 4

x ≠ 2 ,     x ≠ - 2

Passo 3

Nós sabemos agora que o nosso intervalo deve conter - 1 , mas não pode conter nem 0 ,   2   o u - 2 . Logo o único intervalo que permite isso será.

( - 2,0 )

Resposta

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.12. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.7-t y
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.11. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y