Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial t 2 - 25 y ' ' + t + 5 y ' + t y = e - t ,   y 1 = 0 ,   y ' 1 = 1 , certamente tem uma única solução duas vezes diferenciáveis.

  1. - ∞ , ∞
  2. - 5,5
  3. - ∞ , 5
  4. ( 5 , ∞ )

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos começar?

O teorema da existência e unicidade nos diz o seguinte:

Segundo a EDO

a n t d n y d t n + a n - 1 t d n - 1 y d t n - 1 + … + a 1 t d y d t + a 0 t y = g ( t )

Sejam a n t ,   a n - 1 t ,   … ,   a 1 ,   a 0   e   g ( t ) contínuas em um intervalo I com a n t ≠ 0 para todo x neste intervalo. Se x = t 0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y ( t ) para o problema de valor inicial neste intervalo.

A nossa equação é:

t 2 - 25 y ' ' + t + 5 y ' + t y = e - t

E os coeficientes que fazem correspondência com o teorema são:

a 2 = t 2 - 25

a 1 = t + 5

a 0 = t

g = e - t

Todas essas funções são continuas em todo conjunto dos reais, então uma parte do teorema já está satisfeito!

Passo 2

Agora precisamos achar um intervalo no qual a 2 ≠ 0 e que nesse intervalo tenha o t 0 , que no nosso caso é o ponto do valor inicial dado:

y 1 = 0 ,   y ' 1 = 1

Aqui t 0 = 1 . Então vamos pegar a 2 e ver onde ela é ≠ 0 :

a 2 = t 2 - 25 ≠ 0

t 2 ≠ 25

t 2 ≠ ± 5

Então o intervalo onde isso ocorre é:

( - ∞ , - 5 ) U ( - 5,5 ) U ( 5 , + ∞ )

Mas qual escolher? Bom, o teorema nos diz que precisa conter um ponto do PVI, então o conjunto que contém t = 1 e é o maior possível é:

( - 5,5 )

A alternativa correta é a letra (b).

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

( b )

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.12. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.7-t y
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.11. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y