Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial t 2 - 4 y ' ' + t + 1 y ' + s e n ( t ) y = e - t ,   y 1 = 0 ,   y ' 1 = 2 , certamente tem uma única solução duas vezes diferenciáveis.

  1. 2 , ∞
  2. - 2,2
  3. ( - 3,3 )
  4. ( 0,2 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos começar?

O teorema da existência e unicidade nos diz o seguinte:

Segundo a EDO

a n t d n y d t n + a n - 1 t d n - 1 y d t n - 1 + … + a 1 t d y d t + a 0 t y = g ( t )

Sejam a n t ,   a n - 1 t ,   … ,   a 1 ,   a 0   e   g ( t ) contínuas em um intervalo I com a n t ≠ 0 para todo x neste intervalo. Se x = t 0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y ( t ) para o problema de valor inicial neste intervalo.

A nossa equação é:

t 2 - 4 y ' ' + t + 1 y ' + s e n t y = e - t

E os coeficientes que fazem correspondência com o teorema são:

a 2 = t 2 - 4

a 1 = t + 1

a 0 = s e n t

g = e - t

Todas essas funções são continuas em todo conjunto dos reais, então uma parte do teorema já está satisfeito!

Passo 2

Agora precisamos achar um intervalo no qual a 2 ≠ 0 e que nesse intervalo tenha o t 0 , que no nosso caso é o ponto do valor inicial dado:

y 1 = 0 ,   y ' 1 = 2

Aqui t 0 = 1 . Então vamos pegar a 2 e ver onde ela é ≠ 0 :

a 2 = t 2 - 4 ≠ 0

t 2 ≠ 4

t 2 ≠ ± 2

Então o intervalo onde isso ocorre é:

( - ∞ , - 2 ) U ( - 2,2 ) U ( 2 , + ∞ )

Mas qual escolher? Bom, o teorema nos diz que precisa conter um ponto do PVI, então o conjunto que contém t = 1 e é o maior possível é:

( - 2,2 )

A alternativa correta é a letra (b).

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

( b )

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.11. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y