Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Passo 1

a)

A primeira coisa que ele pede é pra mostrarmos que não tem como existir uma solução para aquelas condições iniciais. Para descobrirmos isso devemos substituir os valores.

y = C 1 + C 2 x 2

y ' = 2 C 2 x

y 0 = C 1 = 0

y ' 0 = 2 . C 2 . 0 = 1 → 0 = 1

Isso é impossível, logo não existem constantes para formar uma solução com essas condições iniciais.

Passo 2

A segunda parte desse item é pra explicar porque isso não é uma violação do Teorema da Existência e Unicidade. Vamos escrever a forma completa da nossa EDO e analisar o teorema nela.

x 2 y ' ' - y ' + 0 . y = 0

a 2 x = x 2 ,     a 1 x = - 1 ,     a 0 x = 0 ,     g x = 0

Temos que essas funções logo acima devem ser continuar num intervalo contendo, nesse caso, 0 e que a 2 ( x ) ≠ 0 . Que todas essas funções são continuas em todos os reais tá bem na cara, vamos analisar a outra condição então.

a 2 x = x 2 ≠ 0

x ≠ 0

Tá ai o porquê disso não violar o teorema. O teorema não vai garantir existência de solução porque a condição inicial do problema é para x = 0 e o teorema diz que não podemos pegar justamente esse ponto.

Passo 3

b)

O teorema não garante a existência de solução para x = 0 , mas também não impede de existir. Vamos substituir os valores dados e encontrar duas soluções dadas pra condição inicial dada nesse item.

y 0 = C 1 = 0

y ' 0 = 2 C 2 . 0 = 0

Logo, qualquer solução com C 1 = 0   e   C 2 ≠ 0 vai ser solução., como por exemplo

y = x 2 ,     y = - x 2

Resposta

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.12. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.7-t y
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.11. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y