Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp163-12

Encontre um intervalo em torno de x = 0 no qual o problema de valor inicial dado tenha uma única solução

y ' ' + ( t a n   x   ) y = e x ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a EDO pra ficar com a cara completa de uma EDO de segunda ordem.

y ' ' + 0 y ' + ( t a n   x   ) y = e x

Disso temos as funções que analisaremos com o teorema da existência e unicidade

a 2 x = 1 ,     a 1 x = 0 ,     a 0 x = t a n   x   ,     g x = e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que achar um intervalo onde as funções acima são contínuas. Só teremos um problema com continuidade na tangente de x.

A função tangente não é definida para x = π 2 + k π ,   k Z . Logo o nosso intervalo em torno de x = 0 deverá ser o seguinte para satisfazer a continuidade da função tangente

- π 2 < x < π 2

Vamos passar pra segunda parte do teorema

a 2 x = 1 0

Não temos nenhuma mudança no intervalo já que 1 será sempre diferente de 0, logo o intervalo será o definido acima.

Resposta

A EDO terá uma solução única no intervalo abaixo

- π 2 < x < π 2

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