Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Passo 1

Já conseguimos ver que esse exercício trata de uma utilização do Teorema da Existência e Unicidade. Então primeiro vamos excrever a equação na forma complete e determinar nossos valores de a 3 , a 2 , a 1 ,   a 0   e   g ( x ) .

x 2 - 4 y ' ' ' + 0 . y ' ' + x - 1 y ' + 4 x y = e 2 x

a 3 x = x 2 - 4 ,     a 2 x = 0 ,     a 1 x = x - 1 ,     a 0 x = 4 x ,     g x = e 2 x

Agora temos que encontrar um intervalo contendo - 1 onde todas essas funções sejam continuas e a 3 ( x ) ≠ 0 .

Passo 2

De imediato a gente percebe que a 3 , a 2 , a 1 ,   a 0   e   g ( x ) são continuas em todos os reais. Menos um problema pra gente.

Vamos analisar a 3 agora.

x 2 - 4 ≠ 0

x 2 ≠ 4

x ≠ 2 ,     x ≠ - 2

Passo 3

Nós sabemos agora que o nosso intervalo deve conter - 1 , mas não pode conter nem   2   o u - 2 . Logo o único intervalo que permite isso será.

( - 2 , 2 )

Resposta

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.12. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.7-t y
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.11. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y