Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

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Enunciado

Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial t 2 - 4 t + 4 y ' ' + t + 2 y ' + e t 2 y = e - t 2 ,   y 1 = 0 ,   y ' 1 = 1 , certamente tem uma única solução duas vezes diferenciáveis.

a) - ∞ , 2

b) 0,2

c) - 2,2

d) ( 2 , ∞ )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos começar?

O teorema da existência e unicidade nos diz o seguinte:

Segundo a EDO

a n x d n y d x n + a n - 1 x d n - 1 y d x n - 1 + … + a 1 x d y d x + a 0 x y = g ( x )

Sejam a n x ,   a n - 1 x ,   … ,   a 1 ,   a 0   e   g ( x ) contínuas em um intervalo I com a n x ≠ 0 para todo x neste intervalo. Se x = x 0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y ( x ) para o problema de valor inicial neste intervalo.

A nossa equação é:

t 2 - 4 t + 4 y ' ' + t + 2 y ' + e t 2 y = e - t 2

E os coeficientes que fazem correspondência com o teorema são:

a 2 = t 2 - 4 t + 4

a 1 = t + 2

a 0 = e t 2

g = e - t 2

Aqui temos que x → t , mas fica a mesma coisa! Só trocamos de variáveis!

Todas essas funções são continuas em todo conjunto dos reais, então uma parte do teorema já está satisfeito!

Passo 2

Agora precisamos achar um intervalo no qual a 2 ≠ 0 e que nesse intervalo tenha o x 0 → t 0 , que no nosso caso é o ponto do valor inicial dado:

y 1 = 0 ,   y ' 1 = 2

Aqui x 0 = t 0 = 1 . Então vamos pegar a 2 e ver onde ela é ≠ 0 :

a 2 = t 2 - 4 t + 4 ≠ 0

t - 2 2 ≠ 0

t ≠ 2

Então o intervalo onde isso ocorre é:

( - ∞ , 2 ) U ( 2 , + ∞ )

Mas qual escolher? Bom, o teorema nos diz que precisa conter um ponto do PVI, então o conjunto que contém t = 1 e é o maior possível é:

( - ∞ , 2 )

A alternativa correta é a letra (a).

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

( a )

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