Exercícios Resolvidos de Existência e Unicidade

Ver Teoria

Enunciado

Encontre um intervalo em torno de x = 0 no qual o problema de valor inicial dado tenha um a única solução

x - 2 y ' ' + 3 y = x ,     y 0 = 0 ,     y ' 0 = 1

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a EDO pra ficar com a cara completa de uma EDO de segunda ordem.

x - 2 y ' ' + 0 y ' + 3 y = x

Disso temos as funções que analisaremos com o teorema da existência e unicidade

a 2 x = x - 2 ,     a 1 x = 0 ,     a 0 x = 3 ,     g x = x

Passo 2

Temos que achar um intervalo onde as funções acima são continuas e é evidente que isso acontece para qualquer intervalo.

Vamos passar pra segunda parte do teorema

a 2 x = x - 2 ≠ 0

x ≠ 2

Temos então que encontrar um intervalo em torno de x que não contenha o 2, ou seja

- ∞ < x < 2

Outra resposta possível é

2 < x < ∞

Resposta

A EDO terá uma solução única no intervalo abaixo

- ∞ < x < 2

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.12. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.7-t y
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.11. x
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.9- t t
Em cada um dos problemas de 7 a 12, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável. Não tente encontrar a solução.10. y