Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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Enunciado

20. O conjunto imagem da função f x = π 2 - 3 arccos ⁡ x é igual a

  1. 0 , π
  2. - π 2 , π 2
  3. - π 2 , 5 π 2
  4. 0 , 5 π 2
  5. - 5 π 2 , π 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos descobrir qual conjunto possivel de valores que a nossa função pode assumir.

O problema forneceu a seguinte função,

f x = π 2 - 3 arccos ⁡ x

Repara que temos uma parte arcosseno nela. A função arcosseno nos fornece o valor de arco cujo o cosseno será x . Entã para acharmos o conjunto solução temos que pensar nos valores máximos que o cosseno pode assumir e calcular.

Bora lá!

Passo 2

O valor máximo que um cosseno pode assumir é 1 . Ou seja, seja vamos analisar o arco cujo o cosseno seja 1 .

O cosseno é 1 em n 2 π , onde n é um número inteiro ímpar.

Então para f 1 , teremos

f 1 = π 2 - 3 arccos ⁡ 1

f 1 = π 2 - 3 2 n π

f 1 = π 2 - 6 n π

f 1 = - 5 2 n π

Como n   apenas indica o número de voltas no ciclo trigonométrica, podemos assumir que a função é limitada em - 5 π 2

Passo 3

É valido lembrar que cosseno é 1 para o arco zero.

Então para f 1 também teremos

f 1 = π 2 - 3 arccos ⁡ 1

f 1 = π 2 - 3 0

f 1 = π 2

Ou seja, a função também é limitada em π 2 . Logo o nosso conjunto solução está contido em - 5 π 2 , π 2 .

Resposta

e

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30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.