Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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Enunciado

18. O número de soluções de sin ⁡ 3 x + 4 π cos ⁡ 7 π - x = sin ⁡ 7 π - x cos ⁡ 3 x + 4 π no intervalo 0 , π 4 é:

  1. 3
  2. 4
  3. 1
  4. 0
  5. 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu a seguinte expressão,

sin ⁡ 3 x + 4 π cos ⁡ 7 π - x = sin ⁡ 7 π - x cos ⁡ 3 x + 4 π

E precisamos achar quantas soluções possíveis existem para ela, ou seja, quantos valores x pode assumir.

Para isso, vamos precisar lembrar de algumas relações trigonométricas!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar mexendo um pouco na expressão e deixando tudo de uma lado só,

sin ⁡ 3 x + 4 π cos ⁡ 7 π - x = sin ⁡ 7 π - x cos ⁡ 3 x + 4 π

sin ⁡ 3 x + 4 π cos ⁡ 7 π - x - sin ⁡ 7 π - x cos ⁡ 3 x + 4 π = 0

Para facilitar o nosso entendimento, vamos chamar

a = 3 x + 4 π

b = 7 π - x

Com isso, ficamos com

sin ⁡ a cos ⁡ b - sin ⁡ b cos ⁡ a = 0

Opaaa, galerinha! Essa fórmula me lembra a subtração de senos. Para quem não ela é tem essa relação aqui:

sin ⁡ a - b = sin ⁡ a cos ⁡ b - sin ⁡ b cos ⁡ a =

Ou seja, podemos dizer que a nossa expressão é

sin ⁡ a - b = 0

Agora vamos substituir quem é a e b e calcular com mais facilidade.

Passo 3

Substituindo,

a = 3 x + 4 π

b = 7 π - x

Ficamos com

sin ⁡ 3 x + 4 π - 7 π - x = 0

Ajeitando o termo dentro do seno,

sin ⁡ 4 x - 3 π = 0

Agora vamos calcular os possíveis valores de x .

Passo 4

Então, galerinha, temos que lembrar quando o nosso seno zera!

Ele zera, quando em

sin ⁡ 0 = 0

Logo,

4 x - 3 π = 0

x = 3 4 π

Como esse valor não está no intervalo de 0 , π 4 , não podemos considerálo.

Mas, galerinha, o seno também zera em

sin ⁡ n π = 0

Logo,

4 x - 3 π = n π

Isolando x ,

x = n + 3 π 4

Logo, para x = 1 4 , o nosso seno irá zerar.

E para x = 0 , teríamos

4 0 - 3 π = - 3 π

Cujo o seno é zero.

Então temos duas soluções possíveis.

Prontinho!

Resposta

e

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30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.