Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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Enunciado

Qual é o domínio da função

f x = a r c s e n ( x 2 - x - 1 )

É igual a:

  1. - 1 ;   - 1 2 U [ 0,1 ]
  2. - 1,0 U [ 1,2 ]
  3. - 1 ;   - 1 2 U 1 2 ,   1
  4. - ∞ ; - 1 U [ 1 , ∞ )
  5. [ - 1,2 ]

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

O problema pediu para acharmos o domínio de uma função inversa trigonométrica, aqui ó

f x = a r c s e n ( x 2 - x - 1 )

Sabemos que o seno tem imagem entre [ - 1 ; 1 ] certo? Mas o que tem isso a ver com a função arco seno?

[ - 1,1 ] :

- 1 ≤ x 2 - x - 1 ≤ 1

Mas calma! A ideia aqui é encontrar os intervalos que cada uma das desigualdades é satisfeita (de cada lado) e no fim comparar os resultados: no intervalo onde essas duas condições são satisfeitas simultaneamente será nossa resposta!!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Primeiro vamos ver a inequação da esquerda:

- 1 ≤ x 2 - x - 1

Reorganizando temos o seguinte

- x 2 + x ≤ 0

Temos que encontrar onde essa equação de segundo grau é negativo ou zero. Então vamos achar as raízes e avaliar o sinal em torno desses pontos

- x 2 + x = 0

- x x - 1 = 0

x = 0 ; x = 1

Queremos o intervalo onde essa função é ≤ 0 , então é antes de 0 e depois de 1 (incluindo os pontos):

Beleza?

Passo 3

Agora vamos olhar a inequação do lado direito e repetir o raciocínio!

x 2 - x - 2 ≤ 1

Reorganizando temos

x 2 - x - 2 ≤ 0

x = - ( - 1 ) ± ( - 1 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 2 ) 2 ( 1 ) = 1 ± 3 2

x = 2   o u - 1

Aí fazendo um pequeno esboço temos

Nosso intervalo de interesse é onde a função é ≤ 0 , então:

Tudo bem até aqui? Agora precisamos juntar esses intervalos!

Passo 4

Vamos fazer uma comparação dos intervalos e ver em qual pedaço (ou pedaços) em que as DUAS condições são satisfeitas!

Embora o ponto - 1 não faça diferença para a condição do ( x 2 - x - 2 ) , quando comparamos os intervalos é importante colocar, assim podemos ver que o - 1 está contido nos dois intervalos, tanto quanto o 0 e entre eles. Mas antes do - 1 só funciona para a primeira condição, então esse pedaço não entra na solução final!

A mesma coisa acontece com o pedaço entre 0 e 1, e depois de 2. Eles são válidos apenas para alguma condição, e não para as duas! Por isso no fim, nossa solução fica assim

- 1,0 U [ 1,2 ]

E a alternativa correta é (B)

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( B )

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30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.