Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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Enunciado

Se s e n   x = 1 3 e π 2 ≤ x ≤ π então o valor de y = sec 2 ⁡ x - t g 2 x 1 - c o s s e c   x é

a) - 1 2

b) - 1

c) 1 2

d)   1

e)   0

Passo 1

Beleza, a primeira coisa que vamos fazer, é dar uma simplificada naquela função. Temos

y = sec 2 ⁡ x - t g 2 x 1 - c o s s e c   x

Como

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x ;   t g   x = s e n   x cos ⁡ x ;   c o s s e c   x = 1 s e n   x  

Podemos escrever

y = sec 2 ⁡ x - t g 2 x 1 - c o s s e c   x =   1 cos ⁡ x 2 - s e n   x cos ⁡ x 2 1 - 1 s e n   x

Beleza, elevando aqueles caras ao quadrado, temos

y = 1 cos 2 ⁡ x - s e n 2   x cos 2 ⁡ x 1 - 1 s e n   x

Que será igual a

y = 1 - s e n 2   x cos 2 ⁡ x s e n   x - 1 s e n   x

Até você deve estar pensando que não melhoramos muito em relação ao que tínhamos antes. Mas tem um pulo do gato, que será muito importante agora. Lembra daquela relação fundamental da trigonometria?

Ela diz que

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Ou seja,

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Então podemos escrever que

y = 1 - s e n 2   x cos 2 ⁡ x s e n   x - 1 s e n   x = c o s 2   x cos 2 ⁡ x s e n   x - 1 s e n   x = 1 s e n   x - 1 s e n   x

Beleza?

Divisão de Frações, nós repetimos o primeiro e....

Isso mesmo, multiplicamos pelo inverso do segundo. Portanto

y = 1 s e n   x - 1 s e n   x = s e n   x s e n   x - 1

Beleza, chegamos numa expressão bem mais amigável

y = s e n   x s e n   x - 1

Passo 2

No enunciado, temos a informação que   s e n   x = 1 3 . Então vamos utilizar isso agora

y = s e n   x s e n   x - 1 = 1 3 1 3 - 1 = 1 3 - 2 3

Novamente temos uma divisão de frações, então

y = 1 3   .   - 3 2

Que será igual a

y = - 1 2

A resposta certa será a Letra A

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.