Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

Ver Teoria

Enunciado

18. Seja f : 0 , π 2 → R dada por

f x = sec 2 ⁡ x + c o s s e c 2 x   .

Se α     ∈ 0 , π 2 e t g   α = a b , então f α é igual a

  1. a + b 2 ;
  2. a 2 + b 2 ;
  3. a 2 - b 2 2 ;
  4. a 2 + b 2 a b ;
  5. Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

Fala aí pessoal! Olha, esse problema no fundo quer que a gente manipule aquela expressão

f x = sec 2 ⁡ x + c o s s e c 2 x  

Usando a formas das funções trigonométricas e arrumar alguma maneira de usar que t g   α = a b

Para a gente encontrar quem é o f ( α ) . Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos lembrar que aquelas funções que apareceram ali na raiz possuem umas identidades que podem nos ajudar:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x c o s s e c 2 x = c o t g 2 x + 1

Então a nossa função é:

f x =   sec 2 ⁡ x + c o s s e c 2 x   = 1 + t g 2 x + c o t g 2 x + 1   f x = 2 + t g 2 x + c o t g 2 x  

Agora a gente lembra que

c o t g   x = 1 t g   x

Então a nossa função fica

f x =   2 + t g 2 x + 1 t g 2 x  

Pera aí... Isso não ficou pior que no início? Sim... mas pelo menos agora a gente tem uns termos de t g   x que vão facilitar a nossa vida

Passo 3

O problema quer que a gente calcular f ( α ) então vamos substituir aquele x na expressão que a gente acabou de encontrar por α :

f α =   2 + t g 2 α + 1 t g 2 α   Opaa... O problema nos disse que t g   α = a / b então t g 2   α = a 2 b 2 . A nossa expressão fica então:

f α =   2 + a 2 b 2 + 1 a 2 b 2     =   2 + a 2 b 2 + b 2 a 2    

Manipulando um pouco os termos temos

f α = 2 a 2 b 2 + a 4 + b 4 a 2 b 2

Usando o produto notável:

c 2 + 2 c . d + d 2 = c + d 2

Temos

f α = a 2 + b 2 2 a 2 b 2 = a 2 + b 2 a b

E resolvemos esse problema 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra d.

Exercícios de Livros Relacionados

30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.