Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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Enunciado

17. Seja x = cos ⁡ π 8 + cos ⁡ 7 π 8 + cos ⁡ 9 π 8 + cos ⁡ 15 π 8 . O valor de x é:

  1. cos ⁡ π 8
  2. sin ⁡ π 8
  3. 1
  4. 0
  5. Nenhuma das outras respostas.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão temos uma soma de cossenos para calcular. Mas, repara, que todos os ângulos são dados por n π 8 , onde é um número inteiro impar.

Então para saber quanto vale cada cosseno vamos ter que olhar para círculo trigonométrico:

Agora precisamos saber qual volta foi dada em cada ângulo e identificar quanto vale o cosseno.

Bora lá!

Passo 2

Começando por π 8

Note que arbitramos um valor a para esse cosseno. Logo: cos ⁡ π 8 = a

Passo 3

Para o ângulo 7 π 8 , podemos dizer que ele andou π 8 + 3 π 4 . Dando essa volta no nosso círculo, ficamos com,

Repara que ficamos com o mesmo ângulo em relação a x só que negativo. Logo: cos ⁡ 7 π 8 = - a

Passo 4

Para o ângulo 9 π 8 , podemos dizer que ele andou π 8 + π . Dando essa volta no nosso círculo, ficamos com,

Repara que ficamos com o mesmo ângulo em relação a x só que negativo e no terceiro quadrante. Logo: cos ⁡ 9 π 8 = - a

Passo 5

Por fim, o ângulo 15 π 8 , podemos dizer que ele andou π 8 + 7 π 4 . Dando essa volta no nosso círculo, ficamos com,

Repara que retornamos para x positivo, só que no quarto quadrante. Logo: cos ⁡ 15 π 8 = a

Passo 6

Somando tudo, ficamos com

x = cos ⁡ π 8 + cos ⁡ 7 π 8 + cos ⁡ 9 π 8 + cos ⁡ 15 π 8

x = a - a - a + a

x = 0

Prontinho!

Resposta

d

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30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.