Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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Enunciado

O domínio, a imagem e o período da função

f x = t g x - Π 4

São, respectivamente:

  1. x ∈ R | x ≠ - Π 4 - k Π ,   k ∈ Z , R     e   Π
  2. x ∈ R | x ≠ Π 2 + 2 k Π ,   k ∈ Z , R     e   2 Π
  3. x ∈ R | - Π 4 < x < 5 Π 4   , R     e   Π
  4. x ∈ R | - Π 2 < x < Π 2   , R     e   2 Π
  5. n.d.a

Passo 1

Fala Aííí!! Vamos lá!! A função tangente tem por definição o seguinte domínio:

D = x ∈ R | x ≠ Π 2 + k Π ,   k ∈ Z    

Como podemos então encontrar o domínio da função f x = t g x - Π 4

Já que é uma função tangente?!

É o que veremos agora!!!

Passo 2

Na desigualdade abaixo D = x ∈ R | x ≠ Π 2 + k Π ,   k ∈ Z    

No lugar de x substituiremos pelo que temos dentro do parênteses da função tangente:

x - Π 4

E resolveremos a desigualdade, isolando o x !

Então vamos lá!!

D = x ∈ R | x ≠ Π 2 + k Π ,   k ∈ Z    

Substituindo x   por x - Π 4

temos

D = x ∈ R | x - Π 4 ≠ Π 2 + k Π ,   k ∈ Z    

Vamos olhar para

x - Π 4 ≠ Π 2 + k Π

Jogando o - Π 4 para o lado direito da desigualdade, temos

x ≠ Π 2 + Π 4 + k Π

Fazendo as contas

x ≠ 3 Π 4 + k Π

Assim,

D = x ∈ R | x ≠ 3 Π 4 + k Π ,   k ∈ Z    

Beleza... mas não temos essa opção!

Calmaa!!! Se você reparar no círculo trigonométrico

3 Π 4 = - Π 4

Assim,

D = x ∈ R | x ≠ - Π 4 - k Π ,   k ∈ Z    

O que rolou aqui?????? É que no resultado conseguimos estamos seguindo no sentido positivo (anti-horário) e na resposta ele está seguindo no sentido negativo do ciclo trigonométrico (sentido horário). Beleza?!

Para encontrar a imagem da função f x = t g x - Π 4

Basta lembrarmos que toda função tangente tem umagem real R e seu período é Π !

Logo, a nossa resposta é a letra (a)!

Resposta

Letra A

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30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.