Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

UNICAMP - Cálculo 3 - P2 2011.1 Tozoni - 4b

Calcule a soma da série:

k = 1 5 - k + 1 ln k 5 k + 1

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é analisar essa série, isso porque dessa vez ele quer a soma da série. Vamos tentar dar uma arrumada para ver se conseguimos achar o S n da série e depois fazer o limite dessa soma parcial quando n .

O termo geral dela vai ser

a k = 5 - k + 1 ln k 5 k + 1

Lembrando das propriedades de logaritmo, temos que

ln a b = ln a - ln b

Então:

ln k 5 k + 1 = ln k 5 - ln k + 1

Pela regra do “peteleco”:

ln k 5 = 5 ln k

Assim ficou:

a k = 5 - k + 1 ln k 5 k + 1 = 5 - k + 1 5 ln k - ln k + 1

a k = 5 ln k 5 k + 1 - ln k + 1 5 k + 1

a k = ln k 5 k - ln k + 1 5 k + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que demos uma arrumadinha no termo geral vamos tentar fazer a soma parcial.

S n = k = 1 n ln k 5 k - ln k + 1 5 k + 1

Abrindo isso temos

S n = ln 1 5 1 - ln 2 5 2 + ln 2 5 2 - ln 3 5 3 + ln 3 5 3 - ln 4 5 4 + + ln n 5 n - ln n + 1 5 n + 1

Repara que está aparecendo caras iguais nessa soma, um sendo positivo e outro sendo negativo. Assim, vai sobrar só o primeiro termo e o último.

S n = ln 1 5 1 - ln n + 1 5 n + 1

Como ln 1 = 0 temos

S n = - ln n + 1 5 n + 1

Agora que achamos a soma parcial é só fazer o seu limite quando n

Passo 3

Vamos ao limite

S = lim n S n = lim n - ln n + 1 5 n + 1 = -

Como o numerador e o denominador tendem ao infinito, podemos aplicar L’Hospital:

S = lim n - ln n + 1 5 n + 1 = - lim n ln n + 1 ' 5 n + 1 ' = - lim n 1 n + 1 ln 5 5 n + 1

S = - lim n 1 n + 1 ln 5 5 n + 1 = - 1 = 0

Curiosamente a soma dos termos da série da 0 .

Sacou? O melhor a fazer é ir com calma e tentar ver algo no termo da série, abrir ela e ver se encontra algum padrão, como fizemos nesse exercício!

Resposta

S = 0

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