Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

e) ∑ n = 1 ∞ 1 n + n cos 2 ⁡ n ;

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada uma série e temos que determinar se essa série converge ou diverge!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse caso, podemos determinar a convergência da série a partir do teste da comparação no limite...

Para aplicar esse teste precisamos de uma outra série b n que sabemos se converge ou diverge

Dessa forma, fazemos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Se L for igual a uma constante ≠ 0 e ≠ ∞ , significa que a n e b n tem o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem) ...

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Para usarmos como comparação, vamos usar a série b n = 1 n em que pelas propriedades das P-Séries sabemos que diverge...

lim n → ∞ ⁡ 1 n + n cos 2 ⁡ n 1 n → lim n → ∞ ⁡ n n + n cos 2 ⁡ n

Dividindo o numerador e o denominador por n

lim n → ∞ ⁡ n n n n + n n cos 2 ⁡ n

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + cos 2 ⁡ n

Aplicando o teorema do confronto, temos

0 ≤ cos 2 ⁡ n ≤ 1

Somando 1 em todos os lados...

1 ≤ 1 + cos 2 ⁡ n ≤ 2

Fazendo o inverso...

1 2 ≤ 1 1 + cos 2 ⁡ n ≤ 1

Calculando o limite em todos os lados

lim n → ∞ ⁡ 1 2 ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + cos 2 ⁡ n ≤ lim n → ∞ ⁡ 1

1 2 ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + cos 2 ⁡ n ≤ 1

Portanto, vemos que o limite de a n / b n diverge entre 1 2 e 1 , portanto, podemos afirmar que ∑ n = 1 ∞ 1 n + n cos 2 ⁡ n diverge.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Diverge

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