Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

2 – Calcule o valor da seguinte série numérica:

∑ n = 0 ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, vamos calcular o valor da soma ∑ n = 0 ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n .

Tem alguma ideia do que podemos fazer?

Não existe uma fórmula pronta para esses casos, então o que temos que fazer é analisar cada soma individualmente ou se identificarmos uma característica, podemos aplicar algum método.

Pra isso escrevemos seus primeiros termos e analisamos algumas simplificações que podemos fazer.

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos separar em duas séries

∑ n = 0 ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n

Analisando a série 1 4 n , vemos que se trata de uma série geométrica, portanto, a soma de uma série geométrica é dada por

S g = k 1 - q

Em que k é o termo que multiplica a série e q é a razão da série q = a p a p - 1

Escrevendo os primeiros termos da série 1 4 n , temos

∑ n = 0 ∞ 1 4 n = 1 4 + 1 16 + 1 64 …

Com isso, temos que k = 1 e q = 1 16 / 1 4 = 1 4

S g 1 = 1 1 - 1 4 = 1 3 4 = 4 3

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Agora vamos estudar o outro termo

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n

Aqui vamos fazer a mesma análise...

Escrevendo os primeiros termos da série temos

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n = - 1 2 + 1 4 - 1 8 + 1 16 …

Nesse caso k também é igual a 1 e q será

q = 1 4 - 1 2 = - 1 2

Calculando a soma...

S g 2 = 1 1 - - 1 2 = 1 3 2 = 2 3

Juntando os dois resultados parciais, temos

∑ n = 0 ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n

∑ n = 0 ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n = 4 3 + 2 3 = 6 3

∑ n = 0 ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n = 2

Portanto, essa série converge para 2 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∑ n = 0 ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n = 2

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