Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Exercício 14. Leonhard Euler calculou as seguintes séries:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 ,     ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9 0

Use estes resultados para calcular as seguintes séries:

c) ∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dito que ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9 0 . A partir disso, queremos determinar o resultado da série ∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A partir da série dada, podemos manipulá-la para obter as series ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 e assim obter o somatório que foi pedido...

Parece complicado? 🤔

Passo 2

Nesse caso, temos ∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 .

Podemos começar fazendo uma translação de n como n + 2 para termos apenas n 4 no denominador.

∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 → ∑ n + 2 = 5 ∞ 1 n + 2 - 2 4

∑ n = 3 ∞ 1 n 4

Assim, podemos somar e subtrair os termos para n = 1,2 e assim começar com n = 1 no somatório...

∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 - 1 1 4 - 1 2 4

∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 - 1 - 1 16

∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 - 17 16

Mas como ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9 0 , temos

∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 = π 4 9 0 - 17 16

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∑ n = 5 ∞ 1 n - 2 4 = π 4 9 0 - 17 16

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