Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Exercício 11 Verifique quais das series abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

b) ∑ k = 1 + ∞ - 1 k k 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos determinar se a série dada por ∑ k = 1 + ∞ - 1 k k 2 é convergente ou divergente.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse problema temos uma serie alternada devido ao termo - 1 k em que se k for par, o resultado é - 1 k = 1 mas se k for ímpar, - 1 k = - 1 .

Pra responder essa pergunta podemos aplicar o teste das series alternadas...

Dada uma série genérica

∑ k = 1 ∞ - 1 k a k

Podemos dizer que tal serie converge se:

- a k converge;

- Se a k for decrescente e se lim k → ∞ ⁡ a k = 0 .

Se a a k converge, então a série converge absolutamente.

Se a série converge, mas a k diverge, então a série converge condicionalmente

Se nenhuma dessas colocações forem satisfeitas, então a serie diverge.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, a k = 1 k 2 .

Podemos verificar se a k converge a partir do segundo caso de convergência...

Primeiro vamos verificar se lim k → ∞ ⁡ a k = 0

lim k → ∞ ⁡ 1 k 2

Com k → ∞ , temos que a razão 1 k 2 tende a 0 ...

lim k → ∞ ⁡ 1 k 2 = 0

Conforme k cresce o resultado da razão diminui, portanto, podemos perceber que a k é decrescente.

E também como - 1 k k 2 = 1 k 2 e pelas propriedades de P-Séries a serie 1 k 2 converge.

Com tudo, como lim k → ∞ ⁡ a k = 0 foi satisfeito, então a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 k k 2 converge absolutamente.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Converge

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