Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Exercício 8. Justifique porque as sequências dadas pelos seguintes termos gerais convergem.

a) 1 n cos ⁡ n + ∑ k = 1 n 1 k 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dado a sequência 1 n cos ⁡ n + ∑ k = 1 n 1 k 2 e temos que mostrar o porquê tal sequência converge.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para uma sequência convergir, ela deve tender a uma constante quando n tende a infinito, ou seja.

Dada uma sequência a n dizemos que ela converge se

l i m n → ∞ a n = C T E

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Então o que temos que fazer é calcular o limite de 1 n cos ⁡ n + ∑ k = 1 n 1 k 2 para n → ∞

Veja só

l i m n → ∞ 1 n cos ⁡ n + ∑ k = 1 n 1 k 2

Como o limite da soma é igual a soma dos limites, então

l i m n → ∞ 1 n cos ⁡ n + ∑ k = 1 n 1 k 2 = l i m n → ∞ 1 n cos ⁡ n + l i m n → ∞ ∑ k = 1 n 1 k 2

Pelo teorema do confronto, temos que

- 1 ≤ cos ⁡ n ≤ 1

- 1 n ≤ cos ⁡ n n ≤ 1 n

l i m n → ∞ - 1 n ≤ l i m n → ∞ cos ⁡ n n ≤ l i m n → ∞ 1 n

0 ≤ l i m n → ∞ cos ⁡ n n ≤ 0

l i m n → ∞ cos ⁡ n n = 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora para o outro termo, temos

l i m n → ∞ ∑ k = 1 n 1 k 2 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2

Perceba que caímos em uma outra série com b k = 1 k 2 , se provarmos que essa série converge então obrigatoriamente sua sequência também converge.

Pelas propriedades das P-Séries, vemos que a série ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 converge já que o expoente de k é maior que 1 .

Dessa forma, temos que como 1 n cos ⁡ n converge e ∑ k = 1 n 1 k 2 também converge...

1 n cos ⁡ n + ∑ k = 1 n 1 k 2 = C o n v e r g e

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Converge

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