Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Seja ∑ n = 1 ∞ a n uma série numérica. Para utilizarmos o ��critério de divergência para séries numéricas” para estudar a convergência ou divergência de ∑ n = 1 ∞ a n , necessariamente devemos ter 0 ≤ a n , para todo n

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa dizendo o seguinte

“Seja ∑ n = 1 ∞ a n uma série numérica”

Uma série numérica é a soma de uma sequência numérica! Sim, uma série nada mais é do que uma soma!

Aquele a n dentro do somatório é o termo geral: é uma função de n que vai nos dar quais são os elementos da nossa sequência

Dizemos que uma série é convergente quando a soma dos infinitos termos vai a um valor finito

Mas como assim? Se somarmos infinitos números, a soma não vai ser infinita?

Não necessariamente...

Vou te dar um exemplo bem rapidinho. Vamos ver a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 1 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + …

Vamos analisar a soma parcial. Digamos que nossa série não vá até infinito, vá até o terceiro termo:

s 3 = 1 + 1 8 + 1 27 = 1,1620

E se somarmos quatro termos? Será o que o valor vai mudar muito?

s 4 = 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 = 1,1776

E cinco?

s 5 = 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 = 1,1856

Cada vez que adicionarmos um termo na soma, ele será cada vez menor, então vai impactar cada vez menos na soma total

Dizemos que esse tipo de série é convergente, pois converge para um valor finito.

Passo 2

Podemos dizer pouco mais sobre essa série!

Dá uma olhada nos termos:

1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 + …

Percebe que o próximo termo é sempre menor do que o anterior?

Em séries assim, dizemos que é uma série monótona (o comportamento é sempre o mesmo) e mais: é decrescente!

Sempre que a n + 1 < a n , então temos uma série decrescente

No nosso exemplo isso se confirma, saca só

a n = 1 n 3 ,     a n + 1 = 1 n + 1 3

E daí

a n > a n + 1

1 n 3 > 1 n + 1 3

Porque

n + 1 3 > n 3

Para qualquer valor de n

Obs.: lembrando que n é um número natural, ou seja, inteiro e positivo

Passo 3

E é aqui que quero voltar ao nosso problema.

A próxima afirmativa é

“Para utilizarmos o “critério de divergência para séries numéricas” para estudar a convergência ou divergência de ∑ n = 1 ∞ a n , necessariamente devemos ter 0 ≤ a n , para todo n

Como conversamos lá no passo 1, uma série convergente é aquela em que a soma de todos os termos é um valor finito

E mais, temos que os valores dos termos vão diminuindo cada vez mais

O que o problema nos diz é que a n ≥ 0 , ou seja, o termo geral tem que ser positivo, mas eu nem comentei isso! Comentei que o próximo termo deve ser menor que o anterior, ou seja, a n > a n + 1 , só!

A série pode convergir então para um valor negativo, desde que ele seja um número

Assim a afirmativa é falsa!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f a l s o

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